Hola! Buen dia! Tengo una duda acerca de un ejercicio de polinomios y no se como responderlo y desarrollarlo

1)Determine el valor de K para que el resto de la division k.(x)^2 + 2.x - 1 por x - 1 y por (x)^2 + (2/k).x sea el mismo

2)Obtenga todos los valores de k para los cuales la ecuacion x^2 = 4.x - 3.k tiene raices iguales



Muchisimas Graciassssss

(1) Sabiendo que en toda división tenemos que: dividendo = divisor * cociente + resto... podemos aplicarlo a este ejercicio. Nos plantea que tenemos dos divisiones en las que el dividendo y el resto es el mismo y el divisor va variando.

En el primer caso, tenemos que \[{\color{Red} k}x^2 + 2x - 1 = (x-1) {\color{Blue} (cociente)} + {\color{DarkGreen} resto}\].

En el segundo caso, tenemos que \[{\color{Red} k}x^2 + 2x - 1 = (x^2 + \frac{2}{{\color{Red} k}} x) {\color{Blue} (cociente)} + {\color{DarkGreen} resto}\]

Creo que saldría despejando una ecuación con la otra...


(2) Pide encontrar el valor de k para que \[x^2 = 4x - 3{\color{Red} k}\] tenga raíces iguales.
Como el grado del polinomio es 2, la cantidad máxima de raíces que puede tener dicha ecuación es de 2.
Entonces, tenemos que esas dos raíces deben ser iguales.
Y para que esas raíces sean iguales, se tiene que cumplir lo siguiente (siendo A un número real): \[(x-{\color{DarkGreen} A})^2 = x^2 + 2x {\color{DarkGreen} A}+(- {\color{DarkGreen} A})^2 = x^2 - 2{\color{DarkGreen} A}x + {\color{DarkGreen} A}^2\].
Te queda solamente igualar la ecuación que te dieron en la consigna con la que recién se armó: \[x^2 -4x +3{\color{Red} k} = x^2 - 2{\color{DarkGreen} A}x + {\color{DarkGreen} A}^2\].

Resolviendo eso, llegás a que \[{\color{DarkGreen} A} = 2\]. Y, después, a que \[{\color{Red} k} = \frac{4}{3}\].