El ejercicio dice así:
Determine las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta que es intersección de los planos:
\[\pi_{1} :x-y-z+1=0\]
\[\pi_{2} :x-2y-3z-2=0\]

Bueno, yo ya saqué el producto vectorial que sería (1,2,-1), y para sacar un punto de la recta propuse que X=0, por lo tanto me quedaría:
\[\pi_{1} :-y-z+1=0\]
\[\pi_{2} :-2y-3z-2=0\]

Y de ahí me queda:
\[\left\{\begin{matrix}y=-z+1\Rightarrow y=5\\ -z-4=0\Rightarrow z=-4\end{matrix}\right.\]

Entonces la recta quedaría:
\[ r : (x,y,z) = (0,5,-4) + \lambda (1,2,-1) \]

Por lo tanto, las ecuaciones cartesianas quedarían:
\[\left\{\begin{matrix}x=\lambda \\ y=5+2\lambda \\ z=-4-\lambda \end{matrix}\right.\]


Pero el resultado dice que la respuesta es:
\[\left\{\begin{matrix}x=-4+\lambda \\ y=-3+2\lambda \\ z=-\lambda \end{matrix}\right.\]

Y quería saber cómo llegar a ese resultado, qué cuenta se tendría que hacer..

mirando a ojo, es la misma recta.

fijate que para armar una recta necesitas un punto y el vector director, como lo hiciste.


fijate que no necesitas un punto especifico, sino cualquier punto que forma parte de la recta.

por lo tanto vos tenes infinitos puntos, e infinitos vectores directores para definir la misma recta.

busca 2 puntos de tu recta, y fijate que esos 2 puntos van a formar parte de la recta que te da la guia, porque son la misma recta y ambas expresiones son correctas.

Sí, no me había dado cuenta de eso
Muchas gracias.

Si pones las dos ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales para encontrar la intersección, se te van a simplificar un monton y seguramente después te queden dos ecuaciones tambien pero en las dos una variable va a repetirse, por ejemplo que te quede: x-y=2 ^ x-z=3 (sólo por tirar un ejemplo facil), si tomas a x de parámetro y despejás las demás en función del parámetro, la recta te quedaría , en este caso que inventé recien:
x = x
y = -2 + x
z = -3 + x

(esa x es lambda, no tenia ganas de escribir en latex)
y ya tenés armada la ecuación de la recta sin tener que buscar todo lo otro que buscaste

Pero me gusta complicarme la vida, nunca se sabe cuándo algo que haces al pedo te pueda servir (?)

yo hubiese buscado el producto vectorial y el punto

Tal cual como dice Maik, simplemente encontraste otro punto y otro vector director, basta con que satisfaga las condiciones que hallaste, evaluadas en ambos planos, lo cual has conseguido.

En particular llegan a ese resultado de este modo: