Sean r: (x,y,z)= (0,0,1) + t(-1,-1,1) y el plano π que es perpendicular al plano coordenado Oxy y que contiene a la recta "r".Halle "h" y "k",si existen para que el punto P(h,k,0) sea la proyección del punto M (1,-1,2) sobre el plano π. Grafique el plano π.

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Agradeceria que me ayuden a hacerlo. Mi principal problema es la proyeccion xD
Gracias!

Hola, sea N el normal del plano buscado, \[\alpha\], el plano coordenado 0XY, \[d_r\] el director de la recta r, entoncés de los datos del ejercicio tenés que \[N\perp{\alpha}\] y ademas la recta dada \[r\subseteq{\alpha}\], traducido al español

\[N\perp{n_{\alpha}}\wedge N\perp{d_r}\Longrightarrow{N=n_{\alpha}\times{d}}\Longrightarrow{\pi: x-y=0}\quad \times=\]producto vectorial

Una forma para la proyección de un punto sobre un plano, es tomar una recta cuyo vector director sea la normal del plano (\[\pi\] en este caso) y obligarla a "pasar" por el punto que queremos proyectar ( \[M=(1,-1,2)\] en el ejercicio), por lo que la recta L, expresada en forma paramétrica es:

\[L(\lambda)=\begin{Bmatrix}{x=1+\lambda\\y=-1-\lambda \\z=2\end{matrix}\] luego

\[\pi(L(\lambda))=2\lambda+2=0\Longrightarrow{\lambda=-1}\Longrightarrow{\begin{Bmatrix}{x=0\\y=0\\z=2\end{matrix}\] como nos piden que P sea la proyección de \[M\Longrightarrow{\begin{Bmatrix}{h=0\\k=0\\0=2\end{matrix}\] es un absurdo, no existen h y k tal que P sea la proyección de M

Salvo error en cuentas yo llego a esa conclusión

saludos

saludos

Muchas gracias aoleonsr.

Estaba buscando ejercicios para repasar (porque los de la guía los hice casi todos, y ya me salen de memoria algunos ) y me puse con este, pero me dió un resultado distinto al de aoleonsr. A riesgo de que me digan, "hernst, llegaste tarde, y además estás equivocado porque la respuesta de aoleonsr es la correcta" (o que no me digan nada, porque nadie se acuerde de este thread) voy a explicar lo que hize para que me diera como resultado k = 1 y h = -1

1º Para calcular la proyección de un punto sobre un plano, siempre trato de buscar una recta que conecte a ese punto con el plano en cuestión, luego calculo la intersección entre la recta y el plano, y el resultado es la proyección del punto.

2º Primero calculo el director de la recta que voy a usar: tomé el punto M (1, -1, 2) (el que quiero proyectar) y el punto r (0, 0, 1) (que pertenece al plano donde lo quiero proyectar) y armé un vector que me quedó u = (-1, 1, -1)

3º Para armar la recta me falta un punto que pertenezca a ella, y uso entonces el M (1, -1, 2). Entonces la recta me queda definida como r': (x,y,z) = (1,-1,2) + t(-1,1,-1)

4º La intersección de r' con el plano n me va a dar como resultado la proyección del punto M sobre el plano. Para calcular la intersección hay que expresar la recta en forma paramétrica:

x = 1 - t
y = -1 + t
z = 2 - t

y luego reemplazar los valores de x,y,z en el plano, cosa que me quede todo en función de t, encontrar el valor de t y reemplazarlo en las parametricas de la recta, y eso me va a dar un punto....

PERO NO TENGO EL VALOR DE LAS COMPONENTES a,b,c DEL PLANO (osea, el normal del plano n)

5º El enunciado dice que el punto (h,k,0) va a ser la proyección de M en el plano n, entonces es lógico pensar que:

h = 1 - t
k = -1 + t
0 = 2 - t

6º Despejando 't' me queda que t = 2. Si t = 2, entonces h = -1 y k = 1

Espero que tengan la respuesta del ejercicio, o que estén seguros de la solución, porque ahora me entró la duda de si es así, o es como dicen arriba

Y sería genial que alguien me corrija si me equivoqué en el razonamiento, porque si me lo tomaban en un final, lo hacía así.

un saludo!

esta bien echo como puso mas arriba aoelneser

(14-12-2010 23:46)roman28 escribió:  esta bien echo como puso mas arriba aoelneser

En ese caso, les agradecería si se toman el tiempo de leer mi solución y decirme en dónde me equivoco, pq le doy vueltas y vueltas y no le veo la falla al razonamiento

Hola,

(14-12-2010 19:50)H3rnst escribió:  A riesgo de que me digan, "hernst, llegaste tarde, y además estás equivocado porque la respuesta de aoleonsr es la correcta"

Falso, puedo haberme equivocado, y si tengo un error es bueno que me lo hagan saber, por fin alguién que nota que puedo haber cometido un error (obvio que puedo equivocarme che, soy humano ), a ver veamos tu planteo

Cita:1º Para calcular la proyección de un punto sobre un plano, siempre trato de buscar una recta que conecte a ese punto con el plano en cuestión, luego calculo la intersección entre la recta y el plano, y el resultado es la proyección del punto.

Exacto es el mismo procedimiento que utilizo, bah es el que se enseña en la cursada de algebra, estamos de acuerdo en este punto

Cita:2º Primero calculo el director de la recta que voy a usar: tomé el punto M (1, -1, 2) (el que quiero proyectar) y el punto r (0, 0, 1) (que pertenece al plano donde lo quiero proyectar) y armé un vector que me quedó u = (-1, 1, -1)

3º Para armar la recta me falta un punto que pertenezca a ella, y uso entonces el M (1, -1, 2). Entonces la recta me queda definida como r': (x,y,z) = (1,-1,2) + t(-1,1,-1)

Bien, armaste la recta determinada por dos puntos

Cita:4º La intersección de r' con el plano n me va a dar como resultado la proyección del punto M sobre el plano. Para calcular la intersección hay que expresar la recta en forma paramétrica:

x = 1 - t
y = -1 + t
z = 2 - t

y luego reemplazar los valores de x,y,z en el plano, cosa que me quede todo en función de t, encontrar el valor de t y reemplazarlo en las parametricas de la recta, y eso me va a dar un punto....

Suponto que llamas r' a la recta que armaste, tu razonamiento sigue siendo válido, estoy totalmente de acuerdo en todo lo que decís

Cita:PERO NO TENGO EL VALOR DE LAS COMPONENTES a,b,c DEL PLANO (osea, el normal del plano n)

Acá ya no concuerdo con vós

Cita:Y sería genial que alguien me corrija si me equivoqué en el razonamiento, porque si me lo tomaban en un final, lo hacía así

Sí lo presentabas en el final así tal cual lo estas explicando, seguro te iban a decir
"Lee bien lo que dice el enunciado, si te pedimos el dibujo inclusive, como afirmas que no existe el plano pedido"
Cito el enunciado

Cita:Sean r: (x,y,z)= (0,0,1) + t(-1,-1,1) y el plano π que es perpendicular al plano coordenado Oxy y que contiene a la recta "r.....Grafique el plano π

El razonamiento que utilze para obtener el plano \[\pi\] está en mi primer post, decime si estas o no de acuerdo, y con el plano que obtuve.

Después de hallar el plano utilize todos los pasos q describis más arriba llegando a la conclusion de que no existen h y k, pero me interesaria conocer tu punto de vista, y no solo el tuyo sino también del que crea que puedo estar equivocado ya que perfecto no soy y puedo tener errores, en cuentas, en el razonamiento o alguna falla en la teoría

saludos

Leí tu explicación y me parece que tenés razón, aunque ahora me surgió una duda con la forma de calcular las proyecciones de puntos sobre planos:

Vos usaste al vector normal de n (que yo creí que no se podía saber, pero después de leer bien me di cuenta que sí ) como director de la recta para proyectar el punto.

Después de hacerlo varias veces en papel, llegué a la misma conclusión que vos, osea que h y k no existen porque la proyección del punto M debe ser (h,k,0) y me daba (h,k,y un número distinto de cero). Pero yo usaba como director de la recta r' al vector que salía de la unión entre M y (0,0,1) (el punto de la recta r, que estaba incluída en n)

Ahora estoy en el laburo y no tengo los apuntes, pero justamente la duda es: ¿Siempre tengo que usar el normal del plano donde quiero proyectar el punto? ¿O puedo usar cualquier vector que una al punto con el plano? (para trazar la recta r')

Cita:Sean r: (x,y,z)= (0,0,1) + t(-1,-1,1) y el plano π que es perpendicular al plano coordenado Oxy y que contiene a la recta "r.....Grafique el plano π

Si, yo creía que no se podía calcular n (al menos a primera vista). Te agradezco la explicación. Otro de mis millones de errores por no leer bien el enunciado...

un saludo!

Hola

(15-12-2010 10:10)H3rnst escribió:  Leí tu explicación y me parece que tenés razón, aunque ahora me surgió una duda con la forma de calcular las proyecciones de puntos sobre planos:

Espero haberte convencido con mi explicación pero si te quedan dudas al respecto es que algo no te cierra

Cita:Siempre tengo que usar el normal del plano donde quiero proyectar el punto? ¿O puedo usar cualquier vector que una al punto con el plano?[/b] (para trazar la recta r')

A ver, pongamonos a pensar un poco, yo tengo un punto P que esta "flotando alegremente" sobre algún plano \[\pi\] si el punto P se va a proyectar sobre el plano, necesariamente lo va a hacer en forma perpendicular, el tomar el normal del plano garantiza que la recta r' que nos va a ser de auxiliar para poder realizar la proyección corte en forma perpendicular al plano, no se si me explico, si vos tomas un punto cualquiera que pertenezca al plano, como hiciste en el ejercicio la recta r' va a cortar seguro al plano, pero no podes asegurar que lo haga en forma perpendicular, formara un ángulo \[\alpha\] con el plano, sería mucha casualidad que el punto que pertenece al plano y el punto P a proyectar esten perpendiculares, no lo descarto, pero en ese caso no habria punto que proyectar.

Tu procedimiento es válido si la recta que determinas tomando un punto cualquiera del plano y el punto P corte al plano en forma perpendicular, ya que el punto P se proyecta sobre el plano en forma perpendicular

Espero haber sido claro en mi explicación, se aceptan todas las críticas que puedan surgir al respecto

saludos

Si, tenés razón. Ahora no me quedan dudas, fué un error conceptual de mi parte. Obviamente que si para calcular el director de la recta auxiliar, tomo un punto cualquiera del plano, entonces la proyección va a ser ese mismo punto siempre.

Te agradezco la paciencia y el tiempo que le dedicaste a la explicación

un saludo