Hermanos Utenianos queridos! Estoy ejercitando un poco de Algebra, y me surgieron un par de dudas con 1 ejercicio. Este es:

Halle un plano paralelo al plano de ecuacion \[3x -y+2z+4=0\] sabiendo que el punto \[(1,2,1)\] equidista de ambos planos.

A ver cual es mi problema acá. Yo se que el punto \[(1,2,1)\] esta a la misma distancia de un plano que del otro (es decir, esta entre los 2). De ahí calculo un punto cualquiera que este en el plano dado (por ejemplo \[(1,3,-2)\] pudiendo finalmente calcular la distancia entre el punto y el plano dado mediante la formula:

\[d=\frac{\left |(P1-Xo)*n1 \right |}{\left \| n1 \right \|}\]

donde P1 es el punto especificado en el problema, Xo el punto cualquiera que calcule y n1 es el vector normal al plano, formado a partir de los coeficientes de X, Y y Z de la ecuación general del plano dado.

Sabiendo la distancia de un plano al punto, ya puedo calcular la distancia entre ambos planos, duplicando el valor de la distancia calculada previamente. Yo necesito de un plano paralelo al otro plano. Esto significa que las normales de ambos planos tienen que ser paralelas. Por ende puedo decir que:

\[n2=\alpha *n1=\alpha *(3,-1,2)=(3\alpha ,-\alpha ,2\alpha )\]

Ahora es evidente a simple vista pensar que con eso puedo despejar alfa, con la formula de distancia y con alfa sacar la normal del plano. Pero que pasa? Me falta conocer un punto cualquiera de ese plano (Xo) para que solo me quede una incognita. Y ese es el problema, no se como deducir ese punto. Ni siquiera se si todo lo que dije esta bien o esta mal xD.

Estaria agradecido si me pueden dar una mano.

Tenía casi todo hecho el 2, y lo borraste, supongo que lo pudiste sacar

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Ah, y en el 1, si los planos son paralelos, las normales son iguales directamente!

(22-04-2012 19:07)sentey escribió:  Tenía casi todo hecho el 2, y lo borraste, supongo que lo pudiste sacar

Si era una estupidez. Había que hacer la ecuación vectorial entre ambos planos y de ahi despejar h xD. Gracias igual

Alguien que me ayude ?

Si el plano a buscar es paralelo al dado entonces la normal es proporcional, sea \[\pi\] el plano dado y \[\alpha\] el buscado, por ser paralelos

\[\alpha: 3x-y+2z+d=0\]

falta determinar la constante d, para ello usamos el dato de que el punto dado P equidista de \[\pi\quad \alpha\], simplemente es resolver

\[d(\pi,P)=d(\alpha,P)\]

es solo tema de cuentas ahora, si no te sale chifla

(23-04-2012 00:04)Saga escribió:  Si el plano a buscar es paralelo al dado entonces la normal es proporcional, sea \[\pi\] el plano dado y \[\alpha\] el buscado, por ser paralelos

\[\alpha: 3x-y+2z+d=0\]

falta determinar la constante d, para ello usamos el dato de que el punto dado P equidista de \[\pi\quad \alpha\], simplemente es resolver

\[d(\pi,P)=d(\alpha,P)\]

es solo tema de cuentas ahora, si no te sale chifla

Ahora en un rato hago las cuentas y te digo que tal me fue. Muchas gracias =).

(23-04-2012 00:04)Saga escribió:  Si el plano a buscar es paralelo al dado entonces la normal es proporcional, sea \[\pi\] el plano dado y \[\alpha\] el buscado, por ser paralelos

\[\alpha: 3x-y+2z+d=0\]

falta determinar la constante d, para ello usamos el dato de que el punto dado P equidista de \[\pi\quad \alpha\], simplemente es resolver

\[d(\pi,P)=d(\alpha,P)\]

es solo tema de cuentas ahora, si no te sale chifla

Mira lo intente resolver, pero me falta un punto cualquiera del plano desconocido (\[\alpha \]). Mira cual es la foruma de d:

\[d(P,\alpha )=\frac{\left | (P-Xo)*n \right |}{\left \| n1 \ \|}\]

De ahi no puedo despejar Xo (que puede ser, por ejemplo \[Xo=(A,B,C)\]).

Ademas, por otro lado; como se supone que de ahi voy a poder despejar d de la ecuacion \[\alpha: 3x-y+2z+d=0\]?

Saludos y gracias por ayudar.

p.d: Olvidense, estaba leyendo el libro que pedi en la biblioteca de "Nociones de Algebra Lineal y Geometria Analitica" de Kozak y existe una formula alternativa a la que nuestro profe nos explico (que en realidad es la misma pero expresada de otra forma) la cual dice:

\[d(P,\alpha )=\frac{A*x1+B*Y1+C*Z1+D}{\left \| n1 \|}\]

donde x1, x2 y x3 son las coordenadas del punto dado y A, B, C y D son los coeficientes y termino independiente de la ecuacion general del plano a hallar.

Yo conozco todos esos datos menos D. Despejo D y listo, ya tengo la ecuacion general del otro plano.

Saludos nuevamente y mil gracias

Aplicando la definicion, y cancelando los denominadores

\[\\d(\pi,P)=d(\alpha,P)\to|\pi(1,2,1)|=|\alpha(1,2,1)|\to |3-1+2+4|=|3-1+2+d|\]

finalmente

\[8=|4+d|\]

podes seguir??

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(23-04-2012 15:05)Gonsha escribió:  p.d: Olvidense, estaba leyendo el libro que pedi en la biblioteca de "Nociones de Algebra Lineal y Geometria Analitica" de Kozak y existe una formula alternativa a la que nuestro profe nos explico (que en realidad es la misma pero expresada de otra forma) la cual dice:

\[d(P,\alpha )=\frac{A*x1+B*Y1+C*Z1+D}{\left \| n1 \|}\]

Raro, esa formula es la que estoy usando para el ejercicio, y ademas la dan en la cursada

(23-04-2012 15:28)Saga escribió:  Aplicando la definicion, y cancelando los denominadores

\[\\d(\pi,P)=d(\alpha,P)\to|\pi(1,2,1)|=|\alpha(1,2,1)|\to |3-1+2+4|=|3-1+2+d|\]

finalmente

\[8=|4+d|\]

podes seguir??

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(23-04-2012 15:05)Gonsha escribió:  p.d: Olvidense, estaba leyendo el libro que pedi en la biblioteca de "Nociones de Algebra Lineal y Geometria Analitica" de Kozak y existe una formula alternativa a la que nuestro profe nos explico (que en realidad es la misma pero expresada de otra forma) la cual dice:

\[d(P,\alpha )=\frac{A*x1+B*Y1+C*Z1+D}{\left \| n1 \|}\]

Raro, esa formula es la que estoy usando para el ejercicio, y ademas la dan en la cursada

saga, ami me dio 14 = | -4 + D | y te comento por que.

La distancia entre los dos planos esta equidistados por el punto ( 1, 2, 1 ) y para usar un punto del plano 1 necesito multiplicar por dos a la distancia de un plano al punto ( 1, 2, 1 ). Osea si la distancia del plano 1 al punto ( 1, 2, 1 ) es 7/\[\sqrt{7}\], habria que multiplicarlo por dos creo yo.

Siguiendo este razonamiento me da una D = -10 y otro D = 18

En la respuesta del TP el -10 es correcto pero el 18 no.

Hola kp22 si pasa que cometi un error en las cuentas, por eso siempre pido que se revise mi razonamiento y principalmente las cuentas, soy un desastre con las cuentas , fijate que lo correcto seria, siguiendo el mismo razonamiento:

\[7=|d+3|\to d=4\vee d=-10\]

si razonas un poco, es lógico que un valor de d=4, sino el punto dado no estaria equidistante a ambos planos, lo ves?? y d=-10 es la respuesta de la guía. Gracias por tu comentario

(23-04-2012 21:15)Saga escribió:  Hola kp22 si pasa que cometi un error en las cuentas, por eso siempre pido que se revise mi razonamiento y principalmente las cuentas, soy un desastre con las cuentas , fijate que lo correcto seria, siguiendo el mismo razonamiento:

\[7=|d+3|\to d=4\vee d=-10\]

si razonas un poco, es lógico que un valor de d=4, sino el punto dado no estaria equidistante a ambos planos, lo ves?? y d=-10 es la respuesta de la guía. Gracias por tu comentario

Si la verdad que justo estaba con el mismo problema y me vino muy bien tu ayuda saga. Te quiero preguntar cuanto te dio la dista de Pi1 a R(1, 2, 1).Siendo Pi1 = 3x - y + 2z + 4 = 0 (dato del problema)

Porque ami me dio 7/\[\sqrt{14}\] = dist( pi1 a R )

con ese dato lo iguale a 3x - y + 2z + D
reemplaze el x y z por el punto ( 0 , 0 , -2 ) que me volvia 0 la ecuacion del plano PI1.

y me queda 7/\[\sqrt{14}\] = 3x - y + 2z + D
pero como sabemos que la distancia fue solo de pi1 a R tengo que multiplcar por dos la distancia y me queda:

2.(7/\[\sqrt{14}\]) = 3x - y + 2z + D

y desde ahi obtengo

|-4 + D | = 14

nose en donde me confundi.. y la respuesta que te dio de -10 y 4 es lo que esta en la guia.

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Ahi entendi que hiciste. Tomaste todo el tiempo el punto (1, 2, 1)... me parece que me equivoque yo en el razonamiento. Lo que yo intentaba hacer es tomar un punto del plano Pi1 y tratar de encontrar el D directamente desde ahi. Por eso te decia que multiplique por dos a la distancia. Voy a tener q meditar un toque para que me cierre jaja.

gracias men!

Pensa que el punto que nos dan esta "en el medio" ( punto fiestero ) de ambos planos, o sea que la distancia de un plano al punto P es igual a la distancia del otro plano al mismo punto, por eso en planteo la igualdad de distancias, tomando como referencia en todo momento al punto dado. Lo visualizas ??

(23-04-2012 21:40)Saga escribió:  Pensa que el punto que nos dan esta "en el medio" ( punto fiestero ) de ambos planos, o sea que la distancia de un plano al punto P es igual a la distancia del otro plano al mismo punto, por eso en planteo la igualdad de distancias, tomando como referencia en todo momento al punto dado. Lo visualizas ??

Sisi ahi lo visualice y ya ta jajaja tenes razon nose porque la rebusque tanto en unir un punto de Pi2 a Pi1.

Gracias capo y si tenes un minuto podrias pasar por la duda que postee sobre el ejercicio 17 y 20 ?

(23-04-2012 21:49)kp22 escribió:  Sisi ahi lo visualice y ya ta jajaja tenes razon nose porque la rebusque tanto en unir un punto de Pi2 a Pi1.

jeje suele pasar, quizas si trabajamos un poco mas en tu idea puede funcionar, no hay una unica forma de obtener un resultado, otra manera que se me ocurre es, plantear la proyeccion del punto P sobre ambos planos y de ahi tambien sacarias cuando vale d, es una idea, que si la llevo a la practica por ahi funcione, pero para que enkilombarse.. no??

Hoy Vardanega se avivo de golpe y nos dejo como 15 ejercicios para hacer porque "El lunes y martes es feriado". Que injusticia!

Muy probablemente me vean nuevamente por el foro este fin de semana consultando ejercicios (es muy probable, casi en un 100%, que no me salgan todos).Ya vieron como es Algebra.... una verdadera putita