(04-12-2014 20:33)Pattie escribió: Buenas a todos, adjunto 2 ejercicios de los cuales tengo dudas.
3) Para que el cálculo sea independiente del camino, el campo tiene que ser campo de gradientes, planteo la matriz jacobiana y encuentro que k tendría que valer 0. (k=0).
Luego calculo la función potencial (voy bien hasta ahí?) Me da \[\phi =y^{2}z\]
si estan bien hechas las cuentas ... SI
Cita:Después con el tema de la curva, se me estaría complicando parametrizarla.
Para que ?? onda si ya dijiste que el circulacion es independiente de la trayectoria no es necesario parametrizar nada
Cita: Estoy en lo correcto si luego planteo que \[Trabajo=\phi (g(a))-\phi (g(b))\]
en realidad es
\[\omega=\phi(B)-\phi(A)\]
Cita:y como me lo pide en el primer octante tendría \[a=0 \wedge b=\frac{\pi }{2}\]
Vos sabes que la curva se proyecta sobre el plano xy en el primer octante con los siguientes puntos
A'=(2,0,0) B'(0,2,0)
los puntos de corte del plano y el cilindro los obtenes de
\[C=\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=4\\ z=3x+y \end{matrix}\right.\]
entonces tenes que
\[A=(2,0,6) B=(0,2,2)\]
finalmente , usando tu funcion potencial
\[\omega=\phi(0,2,2) -\phi(2,0,6)=8\]
Cita:4) Acá con este ya me mataron. La superficie que me dan es abierta, entonces tranquilamente puedo calcular el fujo del rotor que me da \[4\pi \] (puede que esten mal los cálculos, pero ahí no radica mi problema). El tema es después cuando me piden corroborar el resultado con una correcta aplicación del teorema de Gauss. Como la superficie es abierta, tendría que cerrarla, y calcularía un flujo total de la superficie (que por cierto es un paraboloide elíptico para abajo) que tiene volumen. Ahora bien, cómo relaciono las dos cuestiones? Me suena que al fujo total le tengo que restar algo para que me corrobore el valor del flujo del rotor, no se me ocurre qué o cómo encarar este.
Muchas gracias!
por definicion de flujo
\[\varphi=\iint_R fnds=\iint_R rot(f)nds\]
el rotor de f es
\[rot f=(-2,1,1)\]
hay que tomar la normal saliente a la superficie, ya que nos piden que verifiquemos gauss entonces
\[n=(2x,2y,1)\]
tomando polares sobre la region
\[\varphi=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}-4r^2\cos\theta+2r^2\sin\theta+rdrd\theta=4\pi\]
verifinquelo con
wolfram
para aplicar gauss simplemente hay que utilizar la definicion convenientemente , necesitamos calcular el flujo sobre S , para eso como dicen hay que restarle la tapa
\[\iint_S fnds=\iiint_V div(rot f) dV-\iint_T rot f n dA \]
la divergencia del rotor da 0
La tapa , tomando normal saliente a S queda definida por la integral
\[\iint_T rot f n dA=\iint_T (-2,1,1)(0,0,-1)dA=-\iint_T dA=\pi R^2=-4\pi\]
luego
\[\iint_S fnds=\iiint_V div(rot f) dV-\iint_T rot f n dA=0-(-4)\pi\]
finalmente
\[\varphi=\iint_S f nds=4\pi\]
Sino me equivoco, joburu y Pattie calcularon la circulacion y el ejercicio pide
el flujo del rotor