Maik ahi te dejo el ejercicio de cambio de variable

calcular el area limitada por las siguientes curvas

\[y=1-x^2\quad y=9-x^2\quad y=15x^2\quad y=\frac{16}{9}x^2\quad x>0\quad y>0\]

el recinto es



si lo hacemos de manera tradicional hay que calcular 3 integrales por ende

\[A=\int_{1/4}^{3/5}\int_{1-x^2}^{15x^2}dydx+\int_{3/5}^{3/4}\int_{\frac{16}{9}x^2}^{15x^2}dydx+\int_{3/4}^{9/5}\int_{\frac{16}{9}x^2}^{9-x^2}dydx=\frac{91}{15}\]

si lo hacemos por cambio de variable , tomo la transformacion

\[g:R^2\to R^2/g(u,v)=(u,v^2-u^2)\quad |D_g|=2v\]

el area sera

\[A=\iint_R 2v dudv\]

reemplazando obtengo los limites en funcion de g

\[\frac{5}{3}<\frac{v}{u}<4\quad 1<v<3\]

tomo nuevamente otra transformación

\[h:R^2\to R^2/h(x,y)=\left ( \frac{y}{x},y \right )\quad |D_h|=\frac{y}{x^2}\]

los limites con esa transformacion son

\[\frac{5}{3}<x<4\quad 1<y<3\]

finalmente

\[A=\int_{\frac{5}{3}}^{4}\int_{1}^{3} 2\frac{y^2}{x^2}dydx=\frac{91}{15}\]