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[Consulta]
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Nahufender Sin conexión
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Mensaje: #1
[Consulta] Dudas y recomendaciones Álgebra y Geometría Analítica
Hola gente, tengo una duda sobre como encarar este ejercicio. Alguno me da una mano?

   
16-01-2020 17:43
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manoooooh Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Consulta] Ejercicio sobre subespacios vectoriales
Hola

Es muy recomendable consultar la página oficial de la materia en su modalidad virtual que tiene todos los temas explicados con ejercicios: https://aga.frba.utn.edu.ar/

Por otro lado ¿qué intentaste? Es importante que nos digas qué hiciste para poder ayudarte mejor.

El enunciado es:

Enunciado escribió:Dados \(S=\operatorname{gen}\{(-a,-2,-8),(3,1,7)\}\) y \(T=\operatorname{gen}\{(4,a,11)\}\) subespacios de \(\Bbb{R}^3\):

  1. Hallar \(a\in\Bbb{R}\) para que la suma \(S+T\) sea directa.
  2. Para dichos valores, dar una base y dimensión de \(S+T\) y \(S\cap T\).

Para la primera parte la suma \(S+T\) es directa si y sólo si \(S\cap T=\{(0,0,0)\}\). Ahora bien \(S\) y \(T\) se pueden poner de esta forma: \[S=\left\{\omega\begin{pmatrix}-a\\-2\\-8\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}\mid\omega,\gamma\in\Bbb{R}\right\},\quad T=\left\{\beta\begin{pmatrix}4\\a\\11\end{pmatrix}\mid\beta\in\Bbb{R}\right\}.\] Haciendo una observación se tiene que los vectores \((-a,-2,-8)\) y \((3,1,7)\) son LI (verificar) y que el vector \((4,a,11)\) es LI porque es diferente al nulo. En esas condiciones cada elemento de \(S\) y de \(T\) son generados con unicidad. La intersección lo constituyen los elementos tales que \[\omega\begin{pmatrix}-a\\-2\\-8\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\a\\11\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}-a&3&4\\-2&1&-a\\-8&7&-11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega\\\gamma\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\] Si hay varias soluciones la intersección tendrá varios elementos. En consecuencia para que la intersección sea sólo el elemento neutro el determinante de la matriz ha de ser distinto de cero. A partir de ahí es sencillo.

Saludos.

P.D. Edité el título del mensaje para hacerlo más atractivo.
16-01-2020 23:15
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Nahufender (17-01-2020)
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Mensaje: #3
RE: [Consulta] Ejercicio sobre subespacios vectoriales
Tremendo, ahora los ejercicios similares también me dan resultados coherentes. Solo tengo una duda que te permite afirmar que los vectores de S multiplicados por dos variable es igual al vector de T multiplicado por otra variable? (Segunda imagen). Se entiende mi pregunta?

(16-01-2020 23:15)manoooooh escribió:  Hola

Es muy recomendable consultar la página oficial de la materia en su modalidad virtual que tiene todos los temas explicados con ejercicios: https://aga.frba.utn.edu.ar/

Por otro lado ¿qué intentaste? Es importante que nos digas qué hiciste para poder ayudarte mejor.

El enunciado es:

Enunciado escribió:Dados \(S=\operatorname{gen}\{(-a,-2,-8),(3,1,7)\}\) y \(T=\operatorname{gen}\{(4,a,11)\}\) subespacios de \(\Bbb{R}^3\):

  1. Hallar \(a\in\Bbb{R}\) para que la suma \(S+T\) sea directa.
  2. Para dichos valores, dar una base y dimensión de \(S+T\) y \(S\cap T\).

Para la primera parte la suma \(S+T\) es directa si y sólo si \(S\cap T=\{(0,0,0)\}\). Ahora bien \(S\) y \(T\) se pueden poner de esta forma: \[S=\left\{\omega\begin{pmatrix}-a\\-2\\-8\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}\mid\omega,\gamma\in\Bbb{R}\right\},\quad T=\left\{\beta\begin{pmatrix}4\\a\\11\end{pmatrix}\mid\beta\in\Bbb{R}\right\}.\] Haciendo una observación se tiene que los vectores \((-a,-2,-8)\) y \((3,1,7)\) son LI (verificar) y que el vector \((4,a,11)\) es LI porque es diferente al nulo. En esas condiciones cada elemento de \(S\) y de \(T\) son generados con unicidad. La intersección lo constituyen los elementos tales que \[\omega\begin{pmatrix}-a\\-2\\-8\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}4\\a\\11\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}-a&3&4\\-2&1&-a\\-8&7&-11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega\\\gamma\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\] Si hay varias soluciones la intersección tendrá varios elementos. En consecuencia para que la intersección sea sólo el elemento neutro el determinante de la matriz ha de ser distinto de cero. A partir de ahí es sencillo.

Saludos.

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17-01-2020 19:54
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Mensaje: #4
RE: [Consulta] Ejercicio sobre subespacios vectoriales
Hola

(17-01-2020 19:54)Nahufender escribió:  Sólo tengo una duda que te permite afirmar que los vectores de S multiplicados por dos variable es igual al vector de T multiplicado por otra variable? (Segunda imagen).

En la intersección están los elementos comunes a ambos subespacios. Los elementos de un subespacio son combinación lineal de \((-a,-2,-8)\) y \((3,1,7)\) y los del otro combinación lineal de \((4,a,11)\). Los elementos de la intersección son comunes a ambos y por tanto se pueden escribir simultáneamente como combiación lineal de los dos primeros o del tercero.

Otra forma de gestionar intersecciones de subespacios es utilizar sus ecuaciones implícitas. Las de un subespacio y las del otro unidas son las ecuaciones de la intersección.

Saludos.
20-01-2020 17:00
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Nahufender (21-01-2020)
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Mensaje: #5
RE: [Consulta] Ejercicio sobre subespacios vectoriales
(20-01-2020 17:00)manoooooh escribió:  Hola

(17-01-2020 19:54)Nahufender escribió:  Sólo tengo una duda que te permite afirmar que los vectores de S multiplicados por dos variable es igual al vector de T multiplicado por otra variable? (Segunda imagen).

En la intersección están los elementos comunes a ambos subespacios. Los elementos de un subespacio son combinación lineal de \((-a,-2,-8)\) y \((3,1,7)\) y los del otro combinación lineal de \((4,a,11)\). Los elementos de la intersección son comunes a ambos y por tanto se pueden escribir simultáneamente como combiación lineal de los dos primeros o del tercero.

Otra forma de gestionar intersecciones de subespacios es utilizar sus ecuaciones implícitas. Las de un subespacio y las del otro unidas son las ecuaciones de la intersección.

Saludos.

Entiendo! Mil gracias.
21-01-2020 14:34
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