Buenas. Tengo dificultades para resolver el siguiente ejercicio:

Sea \[M_{B1,B2}=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& 3& 0\\ -1& 1 & 1\end{pmatrix}\] la matriz asociada a una T.L. \[T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}\], siendo \[B1=\left \{ (1,0,1),(0,1,0),(0,0,-1) \right \} B2=\left \{ (0,0,2),(0,-1,0),(1,0,0) \right \}\]
Halle la imagen por la T.L. de \[u=(1,0,2)\]

¿Cómo encuentro la IMAGEN por la Transformación del vector con la matriz asociada a esas bases, sin tener la expresión analítica de la Transformación? (Aclaración: Hay que resolverlo sin encontrar la expresión analítica)
Si alguno me podría encaminar le agradecería mucho!

Hola, escribimos al vector a transformar en las coordenadas de la base 1.

\[(1,0,2)= a(1,0,1)+b(0,1,0)+c(0,0,-1)\]

\[a=1 ;b=0; c=-1\]

Ahora, si multiplicamos la matriz asociada a las coordenadas de este vector, obtenemos las coordenadas de la transformacion en la base 2.

\[M_{B1,B2}=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& 3& 0\\ -1& 1 & 1\end{pmatrix}\] . \[(1,0,-1)\]= \[T(1,0,2)_b_2\]


Si mis cuentas no me dieron mal, la multiplicacion de la matriz por el vector me dió (1,0,0).
Ahora a este vector me está dando las coordenadas de la transformacion en la base 2.

\[T(1,0,2)= 1(0,0,2)+0(0,-1,0)+0(1,0,0)\]

\[T(1,0,2)=(0,0,2)\]

Muchas gracias!
Si, te equivocaste, la multiplicación de la matriz por el vector da (1,0,-2) y la T(1,0,2)=(-2,0,2) ; pero en definitiva lo que importa es el procedimiento!
Gracias de nuevo

Si me sirve como defensa, lo hice mentalmente!
Saludos