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[Consulta] AMII derivadas en todas direcciones y parciales
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fluxhn Sin conexión
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Mensaje: #1
[Consulta] AMII derivadas en todas direcciones y parciales Dudas y recomendaciones Análisis Matemático II
Hola, queria saber si alguien me podia ayudar con lo siguiente.
En clase dio la profesora un ejercicio que la derivada en todas direcciones con un versor generico daba

f'((0,0),(a,b)) = (a^2) * b

de eso concluia que sus derivadas parciales eran f'x = 0, f'y= 0.
Como llega a saber el resultado de las derivadas parciales con el resultado de las direccionales?

Otro ejemplo: En un parcial de fotocopiadora resuelto

f'[(0,0), (a,b)] =(3a^3 + 2b^3) / (4a^2 + 3b^3) y deduce que si existen, las derivadas parciales son

f'x = 3/4 y f'y = 2/3
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 07-06-2018 16:27 por fluxhn.)
07-06-2018 16:07
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manoooooh Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Consulta] AMII derivadas en todas direcciones y parciales
Hola

Conviene escribir las expresiones matemáticas usando LaTeX. Acá podés ver cómo se usa.

(07-06-2018 16:07)fluxhn escribió:  ¿Cómo llega a saber el resultado de las derivadas parciales con el resultado de las direccionales?

En tu ejemplo no mencionás en qué punto se evalúan las derivadas parciales. Supondré que es el origen. La notación

\[f'((0,0),(a,b))=a^2\cdot b\]

indica que la derivada direccional de la función en el origen en cualquier dirección de un versor

\[\check v=(a,b)\]

(con la condición a^2 + b^2 = 1) depende de los valores de las componentes que conforma dicho versor.

Como las derivadas parciales apuntan hacia en la dirección de los ejes coordenados x e y entonces

\[{f'}_x(0,0)=f'((0,0);(1,0))=1^2\cdot 0=\boxed 0\qquad\text y\qquad{f'}_y(0,0)=f'((0,0);(0,1))=0^2\cdot 1=\boxed 0.\]

No hace falta volver a hacer el límite horrible porque ya sabemos que siempre, en el origen, el resultado es a^2 · b en cualquier dirección. ¿Qué ocurriría si tomamos el versor \[\check v=\left(\dfrac 1{\sqrt 2},\dfrac 1{\sqrt 2}\right)\text ?\]

(07-06-2018 16:07)fluxhn escribió:  Otro ejemplo: En un parcial de fotocopiadora resuelto

f'[(0,0), (a,b)] =(3a^3 + 2b^3) / (4a^2 + 3b^3) y deduce que si existen, las derivadas parciales son

f'x = 3/4 y f'y = 2/3

Aplicá lo mismo (si se trata en el origen); para f'_x sustituí a por 1 y b por 0, y para f'_y cambiá a por 0 y b por 1.

Saludos.

CORREGIDO
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 08-06-2018 21:47 por manoooooh.)
07-06-2018 19:52
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fluxhn (07-06-2018)
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Mensaje: #3
RE: [Consulta] AMII derivadas en todas direcciones y parciales
(07-06-2018 19:52)manoooooh escribió:  Hola

Conviene escribir las expresiones matemáticas usando LaTeX. Acá podés ver cómo se usa.

(07-06-2018 16:07)fluxhn escribió:  ¿Cómo llega a saber el resultado de las derivadas parciales con el resultado de las direccionales?

En tu ejemplo no mencionás en qué punto se evalúan las derivadas parciales. Supondré que es el origen. La notación

\[f'((0,0),(a,b))=a^2\cdot b\]

indica que la derivada direccional de la función en el origen en cualquier dirección de un versor

\[\check v=(a,b)\]

(con la condición a^2 + b^2 = 1) depende de los valores de las componentes que conforma dicho versor.

Como las derivadas parciales apuntan hacia los ejes coordenados x e y entonces

\[{f'}_x(0,0)=f'((0,0);(1,0))=1^2\cdot 0=\boxed 0\qquad\text y\qquad{f'}_y(0,0)=f'((0,0);(0,1))=0^2\cdot 1=\boxed 0.\]

No hace falta volver a hacer el límite horrible porque ya sabemos que siempre, en el origen, el resultado es a^2 · b en cualquier dirección. ¿Qué ocurriría si tomamos el versor \[\check v=\left(\dfrac 1{\sqrt 2},\dfrac 1{\sqrt 2}\right)\text ?\]

(07-06-2018 16:07)fluxhn escribió:  Otro ejemplo: En un parcial de fotocopiadora resuelto

f'[(0,0), (a,b)] =(3a^3 + 2b^3) / (4a^2 + 3b^3) y deduce que si existen, las derivadas parciales son

f'x = 3/4 y f'y = 2/3

Aplicá lo mismo (si se trata en el origen); para f'_x sustituí a por 1 y b por 0, y para f'_y cambiá a por 0 y b por 1.

Saludos.

Muchas gracias, voy entendiendo, pero en caso de que no haya 'a' o 'b' ? Por ejemplo que

f'[(0,0), (a,b)] = b, como seria f'x(0,0) ? Nula?
08-06-2018 21:45
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RE: [Consulta] AMII derivadas en todas direcciones y parciales
Hola

(08-06-2018 21:45)fluxhn escribió:  (...) Por ejemplo que

f'[(0,0), (a,b)] = b, ¿cómo sería f'x(0,0) ? ¿Nula?

Se te dijo que las ecuaciones se escriben utilizando LaTeX, pero hiciste caso omiso. Hasta que no corrijas tu mensaje correctamente no te ayudaré.

Saludos.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 08-06-2018 21:52 por manoooooh.)
08-06-2018 21:50
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Mensaje: #5
RE: [Consulta] AMII derivadas en todas direcciones y parciales
No use latex porque al visualizarlo me aparecia la expresion encerrada entre los simbolos en vez de la imagen

\[f'[(0,0), (a,b)] = b\]
08-06-2018 22:04
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RE: [Consulta] AMII derivadas en todas direcciones y parciales
Hola

(08-06-2018 21:45)fluxhn escribió:  ¿En caso de que no haya 'a' o 'b' ?

Si la derivada direccional en un punto de un versor genérico sólo depende, por ejemplo, de a entonces cualquier derivada será la primera componente del versor. Ídem para el resultado b. Si es un número real significa que siempre la derivada en un punto será la misma, no importa en qué dirección nos movamos (a diferencia del otro ejemplo donde variaba de acuerdo al versor que elijamos).

(08-06-2018 21:45)fluxhn escribió:  Por ejemplo que

\[f'[(0,0), (a,b)] = b,\]

¿cómo sería f'x(0,0) ? ¿Nula?

Correcto.


Off-topic:

(08-06-2018 22:04)fluxhn escribió:  No usé LaTeX porque al visualizarlo me aparecía la expresión encerrada entre los símbolos en vez de la imagen.

Lo sé. De hecho no modificaste tu mensaje, sino que escribiste uno nuevo, ¿sabías que podías editarlo y agregar las etiquetas [tex] y [/tex ]? Recomiendo publicar el mensaje y luego editarlo si te confundiste con algún símbolo, porque al publicarlo el LaTeX sí funciona. Gracias por dedicarle un tiempo a eso =).


Saludos.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 08-06-2018 22:23 por manoooooh.)
08-06-2018 22:20
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fluxhn (22-06-2018)
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