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[Consulta] Ejercicio Algebra de Boole
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gulu Sin conexión
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Mensaje: #1
[Consulta] Ejercicio Algebra de Boole Dudas y recomendaciones Matemática Discreta
Buenas, tengo una duda respecto del siguiente ejercicio que me tomaron en un final.

Analizar si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justificando la respuesta.
(D, + , . , ' , 0 , 1) es un álgebra de Boole, entonces \[a'b + (abc)' + c(b' + a) = b' + c'\] (explica la propiedad que utiliza en cada caso).

El problema es que se me produce un embole terrible de propiedades y nunca llego a un mismo resultado, y siempre, pero siempre, aparece uno de estos en los finales.

Saludos!
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.jpg  HasseDeD15.jpg ( 3,27 KB / 74) por manoooooh
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 22-02-2019 11:50 por gulu.)
22-02-2019 11:06
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manoooooh Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Consulta] Ejercicio Algebra de Boole
Hola

(22-02-2019 11:06)gulu escribió:  Analizar si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justificando la respuesta.
\((D, + , \cdot , ' , 0 , 1)\) es un álgebra de Boole, entonces \[a'b + (abc)' + c(b' + a) = b' + c'\] (explica la propiedad que utiliza en cada caso).

El problema es que se me produce un embole terrible de propiedades y nunca llego a un mismo resultado, y siempre, pero siempre, aparece uno de estos en los finales.

La proposición es falsa.

Como contraejemplo, podés tomar \(D=D_{15}\) (todos los divisores de \(15\)). Por una conocida propiedad, \((D,+,\cdot,',0,1)\) es Álgebra de Boole puesto que \(15\) puede descomponerse como producto de primos únicos. El diagrama de Hasse es:

   

Sean por ejemplo \(a=1\), \(b=3\) y \(c=15\). Entonces \(a'=15\), \(b'=5\) y \(c'=1\). Entonces \begin{align*}a'b+(abc)'+c(b'+a)&=15\cdot3+(1\cdot3\cdot15)'+15\cdot(5+1)\\&=3+15+5\\&=15,\end{align*} pero \begin{align*}b'+c'&=5+1\\&=5,\end{align*} por tanto la proposición es falsa.



Otra manera es a través de sus tablas de verdad asociadas, recordando que \(\cdot\) representa el \(\mathrm{AND}\) lógico y el \(+\) es el \(\mathrm{OR}\) lógico: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a&b&c&a'&b'&c'&a'b&abc&(abc)'&b'+a&c(b'+a)&a'b+(abc)'+c(b'+a)\\\hline \mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V\\\hline \mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V\\\hline \mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V\\\hline \mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V\\\hline \mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V\\\hline \mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V \\\hline \mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V \\\hline \mathrm F&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V \\\hline \end{array}\] y \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline b&c&b'&c'&b'+c' \\\hline \mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm F \\\hline \mathrm V&\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V \\\hline \mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm F&\mathrm V \\\hline \mathrm F&\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V \\\hline \end{array}\] Como ambas tablas de verdad arrojan distintos resultados, concluimos que la proposición dada es falsa.

Saludos.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 22-02-2019 21:11 por manoooooh.)
22-02-2019 21:11
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[-] manoooooh recibio 1 Gracias por este post
gulu (25-02-2019)
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Mensaje: #3
RE: [Consulta] Ejercicio Algebra de Boole
Hola, gracias por tu respuesta. Lo que vos me decís está perfecto, pero necesito resolverlo con las propiedades de sustitución de álgebra de Boole. A mí me quedó lo siguiente, pero no sé si está bien:

[Imagen: Boole.jpg]

Que también es Falso.
25-02-2019 03:21
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manoooooh Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: [Consulta] Ejercicio Algebra de Boole
Hola

Es recomendable que escribas la expresiones matemáticas utilizando LaTeX. Por otra parte, se sugiere que las imágenes sean subidas directamente al foro en vez de a servidores externos, ya que estos suelen caerse a menudo.

(25-02-2019 03:21)gulu escribió:  A mí me quedó lo siguiente, pero no sé si está bien:

[Imagen: Boole.jpg]

Que también es Falso.

No. Si comparamos las tablas de verdad de cada expresión vemos que cada una tiene \(7\) filas verdaderas y una falsa. La expresión a la que llegaste es únicamente falsa cuando \(v(a)=v(b)=v( c)=\mathrm V\), por lo que en ese caso la proposición sí sería verdadera.

Hasta \(a'+b'+c'+ca\) bien. Lo que viene está mal: \(a'+b'+c'c+c'a\), ya que la distributiva está actuando sobre una conjunción y no una disyunción. Debe ser \(a'+b'+(c'+a)(c'+c)\), y como \(c'+c=1\) luego \(a'+b'+(c'+a)1=a'+b'+c'+a\). Aplicando la propiedad asociativa, \(a+a'+b'+c'\), y como \(a+a'=1\) entonces \(1+b'+c'\), de donde \(1\) es el absorbente para la disyunción, así que finalmente tenemos \(1\), que es lo mismo que habíamos obtenido con la primera tabla: todas las filas con verdaderos.

Saludos.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 25-02-2019 07:39 por manoooooh.)
25-02-2019 07:39
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gulu (25-02-2019)
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Mensaje: #5
RE: [Consulta] Ejercicio Algebra de Boole
Hola!

Sí, tenés razón, después me di cuenta del error y finalmente llegué al mismo resultado que vos.

Muchas gracias por tu tiempo, saludos!
25-02-2019 15:49
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