Les pregunto si saben como resolver este ejercicio que no tengo idea como arrancarlos?

19) Sea el haz de planos, cuya ecuacion es: \[\alpha \left ( x - 3y + z - 1 \right ) + \beta \left ( x - z + 3 \right ) = 0\]

b) Determine el plano del haz que es paralelo al eje de cotas

Y otra duda mas general: cuando un plano o recta es paralelo y perpendicular a los ejes?

Muchas gracias, Eric!

(06-12-2012 15:58)ericlifs escribió:  Les pregunto si saben como resolver este ejercicio que no tengo idea como arrancarlos?

19) Sea el haz de planos, cuya ecuacion es: \[\alpha \left ( x - 3y + z - 1 \right ) + \beta \left ( x - z + 3 \right ) = 0\]

b) Determine el plano del haz que es paralelo al eje de cotas

Usa la ecuacion del haz reducido haciendo

\[\frac{\alpha}{\beta}=\lambda\]

entonces tenes

\[x - 3y + z - 1 + \lambda\left ( x - z + 3 \right ) = 0\]

Si es paralelo al eje de cotas, entonces la normal es perpendicular al (0,0,1)

distribuyendo y acomodando factores, salvo error tenes

\[(\lambda+1)x+3\lambda y+(1-\lambda)z+3\lambda-1=0\]

entonces

\[(\lambda+1,3\lambda, 1-\lambda)(0,0,1)=0\]

de esa relacion obtenes el valor de lambda

Cita:Y otra duda mas general: cuando un plano o recta es paralelo y perpendicular a los ejes?

los podes deducir haciendo un dibujito

plano paralelo a algun eje, entonces su normal sera perpendicular al mismo, ademas que en la ecuacion del plano faltara la variable a la cual corresponde ese eje, por ejemplo

\[\pi: ax+by+c=0\]

es paralelo al eje z, facilmente podes verificar que el producto escalar es 0

plano perpendicular a algun eje, entonces su normal sera proporcional al mismo

corresponde a un plano palalelo al eje z

recta paralela a algun eje, su director sera proporcional al mismo

recta perpendicular a algun eje, su director sera perpendicular al mismo

La pucha, escribi todo esto y cuando estaba llegando a la solucion, Saga ya lo habia terminado... igualmente, sirve como afirmacion de que lo que hizo Saga esta bien. tengo que practicar con la velocidad del Latex.


Un plano por lo general es paralelo a los ejes cuando su vector normal es perpendicular a uno de los versores normales que definen a un eje.
En el grafico siguiente, el cual lo hice con paint, fijate que el plano rosa es paralelo al eje y, y que el marron, es paralelo al eje z.
Con esto, se puede afirmar que el plano rosa es perpendicular al \[y\], y el marron al \[z\].

Una forma de calcular esto es viendo que el producto escalar entre dos vectores, sabiendo que si dos vectores son perpendiculares, su producto debe dar cero.

En tu caso del ejercicio, el haz de planos:
\[\alpha \left ( x - 3y + z - 1 \right ) + \beta \left ( x - z + 3 \right ) = 0\]
debe dar como resultado un plano cuyo vector normal sea proporcional al eje de cotas, esto es, que su vector normal sea proporcional al versor \[(0,0,1)\]

Yo lo que hago generalmente es renombrar a uno de los valores, digamos \[\beta\] por \[\lambda\], de esta manera me queda el haz:
\[\left ( x - 3y + z - 1 \right ) + \lambda \left ( x - z + 3 \right ) = 0\]


Operando con la propiedad distributiva y sumando los terminos, me quedaria:
\[(\lambda+1)x+3\lambda y+(1-\lambda)z+3\lambda-1=0\]


Ahora.... si hacemos las cuentas, nos queda que \[\lambda = 1\]