En los cables de mantenimiento de una central aparecen defectos distribuidos aleatoriamente según Poisson a razón de 2 defectos cada 1000m.

a) Calcular la probabilidad de que entre 6 cables de 1000m cada uno, a lo sumo 2 tengan exactamente 1 defecto.
b) ¿Cuantos cables se deberían considerar como mínimo para que con probabilidad de por lo menos 95%, al menos uno de ellos no tenga fallas de este tipo.

\[P(X=K)=e^{-\lambda.t}.\frac{\lambda.t^k}{k!}\]

Siendo \[\lambda = 2/1000\]

Alguna idea de como encararlos?

Gracias!

Puede ser que tengas que sacar con la Poisson cuál es la probabilidad de que haya una falla en 1000m. y después hacés una binomial?

---

X: Un cable de 1000m presenta exactamente una falla.

\[\mathbb{P}(X=1)=\frac{e^{-0.002\cdot1000}\cdot (0.002\cdot1000)^1}{1!}=0.271\]

Ahora tomo X como una variable bernoulli con probabilidad de éxito p=0.271. Como una suma de N variables bernoulli de probabilidad p es una binomial (N, p) :

Y: probabilidad de que k cables tengan 1 falla.

\[Y=\sum_n X_i \sim Bin(n,p)\]

\[\mathbb{P}(Y\leq 2)= \mathbb{P}(Y=0)+\mathbb{P}(Y=1)+\mathbb{P}(Y=2)\]
\[\mathbb{P}(Y\leq 2)=\binom{6}{0}p^0\cdot q^6+\binom{6}{1}p^1\cdot q^5\binom{6}{2}p^2\cdot q^4\]
\[\mathbb{P}(Y\leq 2)=0.271^0\cdot0.729^6+6\cdot0.271\cdot0.729^5+15\cdot0.271^2\cdot0.729^4=0.796\]

B)

Volviendo a la Poisson, ahora tengo que calcular la probabilidad de que en un cable haya 0 defectos:

\[P(X=0)=\frac{e^{-2}\cdot2^0}{0!}=e^{-2}\simeq 0.135 =p\]

Ahora tengo una binomial de N elementos de probabilidad p=0.135.

El enunciado me pide que la probabilidad de que al menos un cable entre N no tenga fallas sea 0.95, que se puede calcular como 1-P(ninguno tenga fallas) = 0.95

\[1-\mathbb{P}(NingunoTengaFallas)=0.95 \Rightarrow \mathbb{P}(k=0)=0.05\]

Y esta es la binomial de antes con el nuevo p:

\[P(k=0)=\binom{n}{0}p^0\cdot q^n=1\cdot1\cdot0.865^n=0.05\]

Ahora puedo hacer prueba y error para hallar n o trabajar con logaritmos en base q:

\[n=\frac{log_{10}(0.05)}{log_{10}(0.865)}\simeq 20.65\]

Con n=20, \[0.865^20=0.055\]... no cumple

Con n=21, \[0.865^2=0.0475\] ... voilà