Estimados ¿Cómo andan?

Vengo por acá a hacer una pregunta tal vez un tanto tonta de recursión. Digo tonta porque recursiones mucho más difíciles me salen pero esta que es sencilla no. Veamos. La recurrencia a resolver es:


Esta recurrencia es fácil de resolverla "recursivamente", o sea, ir reemplazando sucesivamente por los terminos anteriores y generalizando el resultado, lo que queda que la solución es: \[\mathbf{a_{n}= 2n-1}\]. No obstante, necesito resolverla como se hace más adelante en la práctica.

Esta recursividad sería lineal no homogénea. Según los pasos para resolverla, se resuelve primero la homogénea, luego se saca una solución particular no homogénea y luego la solución general como suma de las últimas dos. Esto es lo que hago y llego a un absurdo:

1. Parte homogénea:
   Resuelvo \[\mathbf{a_{n}-a_{n-1}=0}\]
   
   \[\mathbf{a_{n}=r^n}\]
   
   
   \[\mathbf{a_{n}-a_{n-1}=0 \Rightarrow r^{n}- r^{n-1}=0 \Rightarrow r^{n-1}(r-1) \Rightarrow r=1}\]
   
   
   Solución homogénea: \[\mathbf{a_{n}=Ar^{n}=A1^{n}=A}\]
2. Parte no homogénea:
   Resuelvo \[\mathbf{a_{n}-a_{n-1}=2}\]
   Como para este caso la solución particular es una constante, debe ser de la forma: \[\mathbf{a_{n}=K}\]
   Ahora el problema viene cuando quiero proceder de la siguiente manera:
   
   \[\mathbf{a_{n}-a_{n-1}=2}\]
   \[\mathbf{K - K=2 ???}\]

Es obvio que estoy haciendo algo muy mal ¿La constante es distinta para el termino \[\mathbf{a_{n-1}}\]? ¿Estoy haciendo mal alguna otra cosa?

¡Gracias de antemano!

¿Nadie? Mañana es el parcial y es lo único que no entiendo

En mis apuntes de Piñeiro dice "A tener en cuenta: La solución paricular se plantea como una función del mismo tipo que f(n). Si no, se va multiplicando por n sucesivamente hasta hallarla" De modo que yo interpreto que si la particular te da contradicción con An=K, entonces probás An=k*n, (y sino, An=k*n^2). Otra cosa es q tenés q considerar los elementos recursivos con subindices positivos, osea,

(es equivalente, pero si no la considerás así tenés q hacer líos cuando reemplazás)

Vos preguntaste si la constante era distinta para el término \[\mathbf{a_{n-1}}\], y, ahora que hay un n presente junto con el k, sí, son distintos. (sino ambos valían K)


Reemplazo y queda:


Y ahora sí, hago la suma de la parte homogenea con la particular (An=A + 2*n), uso el dato de que A1=1 y queda (1=A + 2*1) => (A= -1)

Finalmente, la sucesión queda


Que si la probás, verifica la ecuación de recurrencia. Sorry si es muy tarde ya jaja.

Alguien sabe los horarios de los parciales?? por que escuche que decian que habian abierto uno a las 16hs hace poco, es verdad???