Hola gente como andan?les traigo una duda con un ejercicio de limite...

a) limite cuando X e Y tienden al origen de X.sen(1/Y)

b) limite cuando X e Y tienden al origen de sen(Y).sen(1/X)

en el caso A aplico limites iterados, cuando Y tiende a 0 me da que el limite no existe, cuando X tiende a 0 el limite vale cero, en el caso B segun la guia existe el limite y vale 0, por que ocurre eso en el caso B si, segun lo que pienso es el mismo caso que en A?
Gracias!

Con conocimientos de AM1, me equivoco si digo que son infinitesimos a y b por infinitesimo por acotada? por Propiedad de infinitesimos.

Perdona que haga una pregunta a tu pregunta, por ahi es valida y te puede ayudar. Si no disculpame.

asumamos que tiende a 0, entonces por la def de limite deberiamos poder acotar por un epsilon, entonces:
|x| < ||(x, y)||< delta -> |X.sen(1/Y)| < |x|< epsilon, es facil ver. El otro es analogo, pensalo.

3.f) límite cuando X e Y tienden al origen de X.sen(1/Y)

x es la parte infinitésima, sen(1/Y) es la parte acotada -> el límite es cero (0)

7.c) limite cuando X e Y tienden al origen de sen(Y).sen(1/X)

sen(Y).sen(1/X) = sen(Y).sen(1/X).Y/Y

sen(Y)/Y tiende a 1
sen(1/X).Y es infinitésimo por acotado (ver 3.f)

Por ende, el límite es cero (0), y como f(0,0)=0, f es contínua.

Saludos.