Qué tal gente. ¿Algún buen samaritano que me pueda ayudar con los dos siguientes ejercicios de álgebra? El primero es acerca de espacios vectoriales (comprobación mediante los 10 axiomas), y el otro es acerca de cambio de base.

1) Verifique si el conjunto de R^2 de todaslas parejas de números reales ( x ; y ), con los datos y operaciones siguientes, constituye o no un espacio vectorial:

( x1 ; y1 ) + ( x2 ; y2 ) = ( x1 + x2 + 1; y1 + y2 + 1)
k ( x1 ; y1 ) = ( ky1 ; ky1 )

Datos: u = ( u1 ; u2 ) v = ( v1 ; v2 ) w = ( w1 ; w2 ) ∈ R^2, y los escalares " k " y " m " ∈ Reales

Según la respuesta del apunte de álgebra de la cátedra de mi facultad, el conjunto no es un espacio vectorial porque no verifica los axiomas:

5 º) u + (-u) = 0
10 º) 1u=u

Sin embargo, yo pienso que ya se descarta la posibilidad de que sea espacio vectorial a partir del axioma:

4 º) u + ¯0 = u
( u1 , u2 ) + ( 0 ; 0 ) = ( u1 + 0 + 1; u2 + 0 + 1)

Además, también verifiqué que no cumple los axiomas 7, 8 y 9 que son con respecto a la distributiva y asociativa con escalares.

¿Está bien lo que planteo?

2) En este ejercicio, básicamente se pide dar el vector de coordenadas del polinomio p(x), con respecto a la base B. Mi duda es, ¿cuál es la forma analítica por la cual se obtiene el valor de dichas coordenadas?
Por lo que yo tengo entendido, las coordenadas se obtendrían platenando la combinación lineal de p(x) según los polinomios que comprenden la base. Si mi pensamiento es correcto, ¿de qué forma se plantea la combinación lineal en cuestión?

p(x)= 2 - 3x + 5x^2
B=( 1 ; 1+x ; 1+x^2)

Desde ya gente de utnianos, les agradezco su tiempo... sé que debería evacuar mis dudas en clase, pero digamos que mi profesor no es de esos que les gusta explicar cómo se resuelven...

¡Graciassss!

En realidad basta probar los 4 axiomas

1) H es no vacío, de hecho el 0 lo prueba.
2) H tiene inverso aditivo.
3) Cerradura bajo la suma.
4) Cerradura bajo la multiplicación por un escalar.

Ahí ya se nota claro que no es un espacio vectorial porque no se cumple la cerradura bajo la suma, si sumas 2 vectores v y w, no puede darte esa diferencia, así que esta bien lo que planteaste. Lo mismo para la parte de los escalares.

Un polinomio es una combinación lineal de las bases que te dan. En base canónica para P1, sería {1, x, x^2}, luego todos los polinomios tienen la forma P(x)=ax^2+bx+c. Para este caso te pide un cambio de base, que podes usar matrices. Pero sin complicarla, un polinomio P en B, sería:

P(x)=a*(x^2+1)+b(1+x)+c, operando... P(x)=(c+b+a)+bx+ax^2
Como tu polinomio es P(x)=2-3x+5x^2
(5, -3, 2)= (a, b, c+a+b)
Esto es un sistema de ecuaciones:
5=a
-3=b
2=a+b+c... 2=5-3+c... c=0
Entonces las coordenadas serían (5,-3, 0)

Ahh, entendí perfecto Wasol. Muchísimas gracias por ayudarme con mi duda!

ayuda con el ejercicio 9 a) de espacio vectorial

(29-06-2015 21:44)hugobarreto escribió:  ayuda con el ejercicio 9 a) de espacio vectorial

Es conveniente que inicies un nuevo th indicando con un titulo descriptivo indicando que problema tenes , y lo que intentaste hacer asi entre todos aca te podemos dar una mano , tambien subi el enunciado del ejercicio/parcial/final , ya que las guias se actualizan o tienen cambios minimos, pero por las dudas mejor subir el enunciado del ejercicio