Hola. El enunciado (adjunto) me pide que resuelva el ejercicio de dos formas distintas: por definición y utilizando teorema de la divergencia, pero los resultados no me coinciden. Están mal los limites de integración?

Me parece que el error esta en el limite de integración del radio en la integral triple, ¿no debería ser entre 0 y 2?

Además, también parece que estas resolviendo mal la integral triple porque no tenés en cuenta que están sumando los términos del integrando, distribuí la integral entre esos términos para facilitar los cálculos.

Espero te sea de ayuda.

Gracias! Si tenía el error de r. Pero aún así no coinciden los resultados. Tal vez resulta difuso, es por ello que lo vuelvo a copiar:

El enunciado: calcule de dos formas diferentes el flujo del campo \[F(x,y,z)= (x^2,y^2,z^2) \] a través de la superficie S de la ecuación \[z^2=x^2+y^2\] con \[1\leq z \leqslant 2\] y la normal unitaria apuntando hacia afuera.

Mi solución (mejorada con la respuesta anterior) :
1er forma mediante la definición: \[\iint_{}^{}S \] F . n dS = \[ \iint_{}^{}D F(W(u,v)). _{W´u} X _{W´v} \]

Parametrización de \[z^2=x^2+y^2\] :

\[x = u cos v\]

\[y= u sen v\]

\[z=u\]

\[0\leqslant v\leqslant 2\pi \]

\[1\leqslant u\leqslant 2\]

queda: \[ \iint_{}^{}D F(W(u,v)). _{W´u} X _{W´v} \] = \[\iint_{D}^{}\] \[(u^3cos^2v,usen^2v,u^2)(-ucosv,-usenv,u)\] dudv

= \[\frac{15ªpi}{2}\] = \[\phi _{s1}\]

2da forma mediante el teorema de la divergencia:
la superficie no es cerrada entonces para que se cumplan las hipótesis del teorema hay que considerar la superficie cerrada

\[S=S1 U S2 U S3\]

entonces:

\[\phi _{s1}+ \phi _{s2}+\phi _{s3} = \int \int \int div (f) dV\]

con

\[S1: z^2= x^2+y^2\]

\[S2: z=1\]

\[S3: z=2\]

\[ \int \int \int div (f) dV\] = \[2 \int \int \int x+y+z dxdydz\]

realizo cambio de variables (cilíndricas):

\[x = r cos o\]

\[y= r sen o\]

\[z=z\]


\[0\leqslant o \leqslant 2\pi \]


\[0\leqslant r \leqslant 2 \]

\[1\leqslant z\leqslant 2 \]

Entonces : \[ \int \int \int div (f) dV\] = 12\[\pi \]


\[\phi _{s2}\]=\[\iint_{ }^{}\] F n2 dS2 = \[\pi \]

ya que el recinto que quedaba era circular y había realizado cambio de variables

\[x = r cos o\]

\[y= r sen o\]

\[0\leqslant o \leqslant 2\pi \]


\[0\leqslant r \leqslant 1 \]

análogamente:


\[\phi _{s3}\]=\[\iint_{ }^{}\] F n3 dS3 = -16 \[\pi \]


\[\phi _{s1}\]= \[\int \int \int div (f) dV \] - \[ \phi _{s2}-\phi _{s3} \] = 17\[\pi \]

y ambos resultados son diferentes

tenes mal calculada la integral de volumen .... tenes que hacerlo por dos integrales en la primera el r esta entre 0 y 1 y el z entre 1 y 2 ; en la segunda el r esta entre 1 y 2 y el z entre r y 2

El flujo por definicion me quedo -15/2 pi