Hola, no puedo resolver el siguiente ejercicio

Sea la recta r:{(x-y+2z=1) y (3y-z=-k}

Halle k perteneciente a R (reales), si existe, tal que la recta r este incluida en un plano que pasa por los puntos A(2,0,0) y B(-3,-1,2)

No me sale el ejercicio, por favor, ayudaaa!!!

Hola!.

Te dan la recta como intersección de dos planos...lo que tenes que hacer es usar las dos ecuaciones que te dan para llegar a la ecuación paramétrica de la recta.

Una vez hecho esto te va a quedar esa ecuación, con una constante k metida por ahí. Lo que haces es reemplazar en la ecuación los puntos que te dan y despejas

Saludos!

Edit: Error de lectura en el ejercicio. Corregido abajo!

(30-06-2014 22:52)Santi Aguito escribió:  Hola!.

Te dan la recta como intersección de dos planos...lo que tenes que hacer es usar las dos ecuaciones que te dan para llegar a la ecuación paramétrica de la recta.

Una vez hecho esto te va a quedar esa ecuación, con una constante k metida por ahí. Lo que haces es reemplazar en la ecuación los puntos que te dan y despejas

Saludos!

Es lo que hice, pero no me sale, me falta ese paso nada mas, no se como definir la recta esa, osea no se si esta bien como lo estoy haciendo.

Leí mal disculpa. Te dicen que tu recta r tiene que estar contenida en un plano que pasa por A y B...no que la recta debe pasar por A y B.

Enunciado

Halle k perteneciente a R (reales), si existe, tal que la recta r este incluida en un plano que pasa por los puntos A(2,0,0) y B(-3,-1,2)

r: {(x-y+2z=1) y (3y-z=-k}

Resolución

Tenemos los dos planos:

\[p1: x-y +2z = 1\]
\[p2: 3y - z + k = 0\]

Despejamos de p2:

\[z = k + 3y\] y reemplazamos en la ecuación 1:

\[x - y + 2(k + 3y) = 1\]

\[x - y + 2k + 6y = 1\]

\[x + 2k + 5y = 1\]

Y nos queda que:

\[x = - 5y - 2k + 1\]

Entonces dejamos expresados a X y Z en función de Y, donde Y hace de parámetro:

\[x = - 2k + 1 - 5t\]
\[y = t\]
\[z = k + 3t\]

Ahora solo falta encontrar el valor de K, para que esta recta este incluida en un plano que pasa por los puntos A y B.

Lo que tenes que hacer, es encontrar una recta contenida en el plano...eso lo haces usando A y B. Y como a vos te piden una recta r también contenida en dicho plano, aplicas condición de coplanaridad entre ambas rectas y despejas k

Hola, mandame un MP con tu correo y te envio la resolucion escaneada, Saludos!

(30-06-2014 23:46)Santi Aguito escribió:  Leí mal disculpa. Te dicen que tu recta r tiene que estar contenida en un plano que pasa por A y B...no que la recta debe pasar por A y B.

Enunciado

Halle k perteneciente a R (reales), si existe, tal que la recta r este incluida en un plano que pasa por los puntos A(2,0,0) y B(-3,-1,2)

r: {(x-y+2z=1) y (3y-z=-k}

Resolución

Tenemos los dos planos:

\[p1: x-y +2z = 1\]
\[p2: 3y - z + k = 0\]

Despejamos de p2:

\[z = k + 3y\] y reemplazamos en la ecuación 1:

\[x - y + 2(k + 3y) = 1\]

\[x - y + 2k + 6y = 1\]

\[x + 2k + 5y = 1\]

Y nos queda que:

\[x = - 5y - 2k + 1\]

Entonces dejamos expresados a X y Z en función de Y, donde Y hace de parámetro:

\[x = - 2k + 1 - 5t\]
\[y = t\]
\[z = k + 3t\]

Ahora solo falta encontrar el valor de K, para que esta recta este incluida en un plano que pasa por los puntos A y B.

Lo que tenes que hacer, es encontrar una recta contenida en el plano...eso lo haces usando A y B. Y como a vos te piden una recta r también contenida en dicho plano, aplicas condición de coplanaridad entre ambas rectas y despejas k

Muchas gracias, me re sirvio!!!

Otra manera , podes combinar geometria y algebra...

por geometria obtenes el director de la recta definida como interseccion de los dos planos y con los puntos que te dan el vector AB, los dos estan incluidos en el plano que se genera como el producto vectorial de ambos , con uno de los puntos , y haciendo las cuentas correspondientes , el plano que contiene al director de la recta y pasa por los dos puntos es de ecuacion

\[-5x+y-3z=-10\]

ahora usamos algebra, para encontrar el valor de k que nos dice que la recta esta incluida en el plano el sistema asociado debe ser SCI , el cual es

\[\\x-y+2z=1 \\3y-z=-k\\-5x+y-3z=-10\]

ahora solo es tema de cuentas de ingreso o algebra basica para encontrar los valores de k pedidos