Llevo largo rato intentando hacer este ejercicio pero la verdad no me sale, alguien que me de una mano?

Probar, usando inducción matemática \[\sum_{k=1}^{n} \frac{\ k }{\2 ^k} = 2 - \frac{\ n+2 }{\2^n} \]

Primero probamos el caso base

P(1): \[\frac{1}{2^1}=2-\frac{1+2}{2^1}\]

Queda \[\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\]

Ahora tenemos que probar:

\[P(n) => P(n+1)\]

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}=2-\frac{n+2}{2^n} => \sum_{k=1}^{n+1}\frac{k}{2^k}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\]

Trabajo con la tesis:

\[\sum_{k=1}^{n+1}\frac{k}{2^k}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\]

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\]

Uso la hipotesis y queda:

\[2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}\]

\[-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]

\[-\frac{2n+4}{2^n.2}+\frac{n+1}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]

\[\frac{-2n-4+n+1}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]

\[\frac{-n-3}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]

\[-\frac{n+3}{2^{n}.2}=-\frac{n+3}{2^{n}.2}\]

no entiendo esta parte, como utiliza la hipotesis ahi?

desde el primer claculo que haces cuando utilizas la hipotesis.

gracias.