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Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
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Gonsha Sin conexión
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Mensaje: #1
Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I Ejercicios Álgebra y Geometría Analítica
Hola gente, como andan?

Bueno queria solicitar su ayuda con 2 ejercicios basicos de vectores de algebra encontrados en la 1ra guia de ejercicios.

Los ejercicios dicen asi:

1) Dados los vectores \[a: i + 3j - 2k \] y \[b: 4i - 6j + 5k\] descomponga el vector b en la suma de 2 vectores: Uno en la misma direccion que a y otro en una direccion ortogonal a a.

Lo que yo hice fue lo siguiente:

Primero que nada calcule los vectores a y b:

\[a: (1,3,-2)\] y \[b: (4,-6,5)\]

Luego empece a plantear la ecuación principal, \[b: x + y\] (donde x e y son los 2 vectores descompuestos). Luego determine que (como el orden de los factores no altera la suma) x era el vector con misma dirección que a e y el vector con dirección ortogonal a a.

Ahora, para x: Si se sabe que tiene la misma dirección, entonces se sabe que el versor de X es igual al versor de a (obviamente con distinto modulo).

\[x: \frac{a}{||a||}\]

\[x: \frac{(1,3,-2)}{\sqrt{14}}\]

\[x: (\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{-2}{\sqrt{14}})\]

Pero como dije antes no tiene el mismo modulo, por lo cual:

\[x: (\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{-2}{\sqrt{14}})*F\]

Donde F es un numero escalar (y es incognita).

Luego prosegui a analizar el vector y: Si se que el vector y es ortogonal a a, entonces:

\[a * y = 0\]

Llamemos a y: \[y: (A,B,C)\]. Reemplazamos arriba y nos queda:

\[(1,3,-2) * (A,B,C): 0\]

Pero a decir verdad con eso no llego a nada porque tendría una ecuación con 3 incógnitas. Entonces supongo que esta mal hecho.

Ese es el primer problema.

2) Calcule \[\left \| a \right \|\] sabiendo ang(a,b):\[\frac{3}{4}\prod \], \[\left \| b \right \|: \sqrt{2}\] y que \[4a + 2b \perp a\].

Lo primero que hice fue la ecuación quie dice:

\[a*b: \left \| a \right \|*\left \| b \right \|*cos\alpha \]

\[a*b: \left \| a \right \|*\sqrt{2}*-\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[-(a*b):\left \| a \right \|\]

Y ahi me estanque porque no se como deducir a*b utilizando el ultimo dato del ejercicion.

Alguien me ayuda?

Desde ya muchas gracias.

Saludos
29-03-2012 14:18
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
Usa las definiciones, para empezar tenes un vector \[v=(r,m,n)\] perpendicular al vector "a" entonces se cumple que

\[v\perp a \to (r,m,n)(1,3,-2)=0\quad (1)\]

despues tenes que v tiene la misma direccion que a o sea es proporcional

\[v=\alpha v\rightarrow (r,m,n)=\alpha(1,3,-2) \quad (2)\]

de (1) obtenes \[r=2n-3m\to v=(2n-3m,m,n)\]

de (2) \[v=(r,m,n)=(\alpha,3\alpha,-2\alpha)\]

sabes que b es la suma de (1) y (2) entonces \[(4,6,5)=(2n-3m,m,n)+(\alpha,3\alpha,-2\alpha)\]

sistema de 3 ecuaciones y tres incognitas a resolver.

El otro si no te contestan cuando vuelva de la pile lo veo thumbup3

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 29-03-2012 15:00 por Saga.)
29-03-2012 15:00
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Gonsha Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
(29-03-2012 15:00)Saga escribió:  Usa las definiciones, para empezar tenes un vector \[v=(r,m,n)\] perpendicular al vector "a" entonces se cumple que

\[v\perp a \to (r,m,n)(1,3,-2)=0\quad (1)\]

despues tenes que v tiene la misma direccion que a o sea es proporcional

\[v=\alpha v\rightarrow (r,m,n)=\alpha(1,3,-2) \quad (2)\]

de (1) obtenes \[r=2n-3m\to v=(2n-3m,m,n)\]

de (2) \[v=(r,m,n)=(\alpha,3\alpha,-2\alpha)\]

sabes que b es la suma de (1) y (2) entonces \[(4,6,5)=(2n-3m,m,n)+(\alpha,3\alpha,-2\alpha)\]

sistema de 3 ecuaciones y tres incognitas a resolver.

El otro si no te contestan cuando vuelva de la pile lo veo thumbup3

No sabes cuanto te agradezco Saga. Entonces, para finiquitar con el 1er ejercicio las 3 ecuaciones serian:

\[(r,m,n)*(1,3,-2)=0\]
\[(r,m,n)=(\alpha ,3\alpha ,-2\alpha )\]
\[(2n-3m,m,n)+(\alpha ,3\alpha ,-2\alpha )=(4,6,5)\]

Realmente no creo que sean esas puesto que \[\alpha\] y \[r\] no estan en las 3 ecuaciones. ¿Que decis?
29-03-2012 17:15
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Mensaje: #4
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
Creo que no me explique bien, no me molesta si me decis que alguna explicacion que te di no te convence, a ver (1) y (2) son las definiciones que nos llevan

\[(2n-3m,m,n)+(\alpha ,3\alpha ,-2\alpha )=(4,6,5)\]

si efectuamos la suma de vectores, que como sabras los vectores se suman componente a componente, tenemos

\[\\4=2n-3m+\alpha\\ 6=m+3\alpha\\5=n-2\alpha\]

sistema del que te hablaba



para el segundo te falto considerar la condicion

\[4a+2b\perp a\Rightarrow (4a+2b)a=0\]

a no puede ser 0 sino no existe angulo, entonces consideramos

\[4a+2b=0\Rightarrow {\color{Red} b=-2a}\]

la formula es

\[(a.b)=||a||\cdot||b||\cdot cos\theta\],

solo queda sustituir el valor de b en el producto escalar, y operar como lo venias haciendo.

Recorda que \[\vec a\cdot \vec a=||\vec a||^2\]

cualquier duda chifla thumbup3

editado

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 30-03-2012 07:21 por Saga.)
29-03-2012 19:03
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Mensaje: #5
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
(29-03-2012 19:03)Saga escribió:  Creo que no me explique bien, no me molesta si me decis que alguna explicacion que te di no te convence, a ver (1) y (2) son las definiciones que nos llevan

\[(2n-3m,m,n)+(\alpha ,3\alpha ,-2\alpha )=(4,-6,5)\]

si efectuamos la suma de vectores, que como sabras los vectores se suman componente a componente, tenemos

\[\\4=2n-3m+\alpha\\ -6=m+3\alpha\\5=n-2\alpha\]

sistema del que te hablaba



para el segundo te falto considerar la condicion

\[4a+2b\perp a\Rightarrow (4a+2b)a=0\]

a no puede ser 0 sino no existe angulo, entonces consideramos

\[4a+2b=0\Rightarrow b=-\frac{a}{2}\]

la formula es

\[(a.b)=||a||\cdot||b||\cdot cos\theta\],

solo queda sustituir el valor de b en el producto escalar, y operar como lo venias haciendo.

Recorda que \[\vec a\cdot \vec a=||\vec a||^2\]

cualquier duda chifla thumbup3

Sos un genio Saga, muchisimas gracias ya entendi todo thumbup3. Te explicaste bien, soy yo el duro wall jaja xD.

Saludos y nos veremos pronto (con Física 1!!! jaja).
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-04-2012 18:59 por Saga.)
30-03-2012 02:33
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Mensaje: #6
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
No es nada, al contrario me gusto poder colaborarte, corrijo algo en mi mensaje cuando consideras, en el segundo ejercicio la condición de perpendicularidad \[b=-2a\] y nó como lo puse, error mental, ah!! gracias por responder si tus dudas fueron resueltas, éxitos en la carrera thumbup3

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 30-03-2012 10:49 por Saga.)
30-03-2012 07:19
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Mensaje: #7
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
Compañeros, no entendí una parte del ejercicio. No entiendo como armaron la ecuacion que luego igualaron y sumaron componente a componete. Un vector es proporcional y el otro es ortogonal, pero los dos no cumplen las dos propiedades (?)
09-04-2012 11:02
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Mensaje: #8
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
(09-04-2012 11:02)bareel escribió:  No entiendo como armaron la ecuacion que luego igualaron y sumaron componente a componete.

(29-03-2012 14:18)Gonsha escribió:  Los ejercicios dicen asi:
1) Dados los vectores \[a: i + 3j - 2k \] y \[b: 4i - 6j + 5k\] descomponga el vector b en la suma de 2 vectores: Uno en la misma direccion que a y otro en una direccion ortogonal a a.

09-04-2012 16:32
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Mensaje: #9
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
Ya lo entendi. Lo que pasa es que, sino me equivoco, pusiste que V es perpendicular (a.v = 0) y que el mismo v es proporcional por la misma dirección. En mi caso, le puse nombres diferentes y pense que eso iba a interferir en el resultado.

Muchas gracias.
10-04-2012 15:28
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Mensaje: #10
RE: Duda ejercicios basicos de guia de ejercicios de Algebra I
Sí, bareel entiendo lo que me decis, perdón por el cuelgue y no contestar antes, es cierto que un vector no puede ser perpendicular y al mismo tiempo proporcional, si te fijas bien yo tome un vector genérico, pero el vector que impongo que sea perpendicular es

\[v=(2n-3m,m,n)\]

y un vector proporcional

\[k=(\alpha,2\alpha,-3\alpha)\]

fijate que \[v\neq k\] dependen de distintos parametros,

uno cumple la perpendicularidad y el otro la proporcionalidad, lo podes ver??

si fuese solo vector que cumple las dos cosas, seria algo del tipo

\[v=(r,m,n)\quad k=(\alpha r,\alpha m,\alpha n)\]

ahi si tenés toda la razón y estaria mal planteadas las condiciones del enunciado, hay muchas formas de encarar el ejercicio, a mi me parecio mas sencilla la que propongo, igual agradezco las observaciones o errores que podas/puedan encontrar en algun planteo que propongo Feer thumbup3

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 13-04-2012 21:55 por Saga.)
13-04-2012 21:46
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