Buen día. Tengo problemas con un ejercicio de identificación de cónicas. El mismo dice, "Halle k para que la ecuación resulte un par de rectas paralelas".

\[x^2 + k xy + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0\]

Por lo que tengo entendido tengo que trabajar con la expresión matricial de la cónica y aplicar el polinomio característico en la primer matriz.

\[\left | \begin{pmatrix} 1-\lambda & k/2 \\ k/2 & 1-\lambda \end{pmatrix}\right | = 0\]

Lo que resultaría:

\[(1-\lambda) (1-\lambda) - \frac{k^2}{4} = 0\]

Segun la teoría yo tengo: \[A\lambda ^2 + B\lambda + C = 0\]

1. Circunferencia: \[\lambda 1 = \lambda 2\] y \[B^2 - 4C = 0\]
2. Hipérbola: \[Sg(\lambda1)\neq Sg(\lambda2) \] y \[C < 0\]
3. Elipse: \[Sg(\lambda1) = Sg(\lambda2)\]
4. Parábola: \[\lambda = 0\] y \[C = 0\] (Si hay términos lineales)
5. 2 Rectas paralelas \[\lambda = 0\] y \[C = 0\] (Si no hay términos lineales)
   

Aunque me falta saber cuando las rectas se cortan que por lo que tengo entendido ocurre en la hipérbola... el ejercicio pide paralelas, por lo tanto si desarrollo el polinomio característico llego a:

\[\lambda^2 - 2\lambda + [1 - \frac{k^2}{4}] = 0\]

De esta manera igualo el término C a cero:

\[[1 - \frac{k^2}{4}] = 0\]

y resulta: \[k = 2 \] o \[k = -2 \]

Graficando me queda:



Y no resulta....
Con otros ejercicios hice lo mismo y el gráfico coincide, que puedo estar haciendo mal?

Gracias.

Esta bien porque el resultado te dan dos rectas paralelas pero coincidentes , observa que toda esa ecuacion la podes escribir como

\[(x-y)^2+2(x-y)+1=0\to (x-y+1)^2=0\]

dos rectas paralelas coincidentes , o sea que solo se cumple para k=-2

Gracias saga querido. ya pense que lo estaba haciendo mal D:

tenes idea cual es la condicion para que la hiperbola se transforme en rectas secantes? asi completo el thread.

Saludos.

Lo que tengo de teoria es lo siguiente

\[\lambda_1\cdot \lambda_2<0\]

tipo hiperbolico

1) puede degenerar en un par de rectas que se corten

2) o dar una hiperbola verdadera

Despues tengo en funcion de las matrices asociadas a la conica completa, pero creo que ese parte la omitieron del programa en la actualidad