Buenas, estoy trabado con un ejercicio de límites que no puedo resolver. Sale de un ejercicio que pide evaluar continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en el punto (0,1).

El límite quedaría así:

\[\lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{x^3}{x^2+(y-1)^2}\]

Cómo se resuelve?

\[x^2/ (x^2)^2 + (y-1)^2\] es una funcion acotada, por lo tanto al multiplicarla por X te da: acotado * infinitesimo= 0 y ahi termina

(01-06-2013 20:57)hc993 escribió:  Buenas, estoy trabado con un ejercicio de límites que no puedo resolver. Sale de un ejercicio que pide evaluar continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en el punto (0,1).

El límite quedaría así:

\[\lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{x^3}{x^2+(y-1)^2}\]

Cómo se resuelve?

es la primera vez que hago lo voy a hacer, asi que no se si esta bien , o si es pura fruta.

primero

\[y-1 = y'\]

luego

\[\lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{x^3}{x^2+(y-1)^2} = \lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{x^3}{x^2+(y')^2}\]

esta funcion es acotable. entonces la acotamos a 0, para eso aplicamos modulo

\[| \frac{x^3}{x^2+(y')^2}| = |\frac{x * x^2}{x^2+(y')^2}|\]

como los terminos elevados al cuadrado son siempre positivos

\[|\frac{x * x^2}{x^2+(y')^2}| = \frac{|x| * x^2}{x^2+(y')^2} \]

luego, por propiedad tenes que

\[x^2+(y')^2 \leq x^2\]

entonces:

\[\frac{|x| * x^2}{x^2+(y')^2}\leq \frac{|x| * x^2}{x^2}=|x| = 0\]

por lo tanto la funcion es acotada a 0, por teorema del sandwitch ese limite da 0.

te falto probar que esta acotada , una manera: sabes que para todo x y

\[x^2\leq x^2+(y-1)^2\Leftrightarrow \frac{x^2}{x^2+(y-1)^2}\leq 1\rightarrow \boxed{0\leq \frac{x^2}{x^2+(y-1)^2}\leq 1}\]

funcion acotada entre 0 y 1

x tiende a 0 cuando el limite doble tiende a (0,0)

0 * acotada=0