Partamos de las siguientes premisas:

- Si el determinante de un sistema es distinto a 0, entonces el sistema es compatible determinado
- Si el determinante de un sistema es igual a 0, entonces el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible.

Con respecto a este ejercicio, tené en cuenta lo siguiente:

- Cuando calculas un determinante cualquiera, vos estas haciendo operaciones entre los coeficientes del sistema. En un sistema normal, todos los coeficientes son números, por lo tanto el determinante va a ser un número. En este ejercicio tenés la k como coeficiente en varios lugares, por lo tanto el determinante no va a ser un numero específico, sino que te va a quedar una ecuacion que va a contener una o más k.

Entonces, es bastante sencillo el procedimiento para resolver este ejercicio:

- Averiguas el determinante. Si resolvés bien, el determinante te debería quedar:

\[Determinante \ del \ sistema =-2k^{2}+2k+4\]

Volvamos a las premisas del principio.

- Si el determinante de un sistema es distinto a 0, entonces el sistema es compatible determinado.
- Si el determinante de un sistema es igual a 0, entonces el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible.

Averiguamos entonces las soluciones o raices de esa ecuación de segundo grado:

\[k_{1}=-1 \ \wedge \ k_{2}=2\]

Esto quiere decir que cuando K = -1 o cuando K = 2, el determinante es igual a 0 y por consecuencia el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. Para todos los demás valores de k, el determinante va a ser distinto de 0 y por lo tanto el sistema va a ser compatible determinado.

Ya tenés que para K distinto de -1 o de 2 el sistema es compatible determinado. La pregunta ahora es: Qué número tiene que ser k para que sea SCI y que número tiene que ser k para que sea SI?

Sólo nos quedan dos posibles valores de k: -1 y 2. Recordemos que para cualquier otro valor de k el sistema es SCD.
Entonces lo que resta hacer es reemplazar k primero por -1 y luego por 2 en el sistema y ver qué pasa en cada caso. Si probamos el -1 y el sistema nos devuelve infinitas soluciones, entonces para k = -1 el sistema es SCI. Si en cambio no nos devuelve soluciones, el sistema es SI. Lo mismo hacemos después con el 2. Ejercicio terminado.


Ahora bien: cuándo entra Gauss en todo esto? Gauss te puede ayudar a "acomodar" un poco el sistema original, así después podés calcular el determinante sobre un sistema más "lindo". Pero la realidad es que el determinante lo podés calcular a partir tanto del sistema original como del después de aplicar Gauss. Por lo tanto, si resolves este ejercicio con determinantes, no necesitás utilizar Gauss.

Para k = 2 el sistema nos queda:

\[\left\{\begin{matrix} 4x &-3y &+z &=7 \\ -x &+2y &-3z &=0 \\ 9x &+2y &-2z &=7 \end{matrix}\right.\]

Empezamos a resolver con Gauss:

\[\begin{pmatrix}4 & -3 &1 & 7 \\ -1 & 2 & -3& 0 \\ 9 & 2 & -2 & 7 \end{pmatrix} \to (E_{2}' = 4E_{2}+E_{1}) \to \begin{pmatrix}4 & -3 &1 & 7 \\ 0 & 5 & -11& 7 \\ 9 & 2 & -2 & 7 \end{pmatrix}\]

\[\to (E_{3}' = 4E_{3}-9E_{1}) \to\]

\[\begin{pmatrix} 4 & -3 &1 & 7 \\ -0 & 5 & -11& 7 \\ 0 & 35 & -17 & -35 \end{pmatrix} \to (E_{3}' = E_{3}-7E_{2}) \to \begin{pmatrix} 4 & -3 &1 & 7 \\ 0 & 5 & -11& 7 \\ 0 & 0 & 60 & -84 \end{pmatrix}\]

Podemos observar que obtuvimos el siguiente sistema luego de aplicar Gauss:

\[\left\{\begin{matrix} 4x &-3y &+z &=7 \\ 0x &+5y &-11z &=7 \\ 0x &+0y &+60z &=-84 \end{matrix}\right.\]

Finalmente podemos despejar z:

\[\\ 60z=-84 \\ z=-\frac{7}{5}\]

Reemplazamos z en este ultimo sistema que obtuvimos, y averiguarmos primero y, y despues x.

El sistema original es:

\[\left\{\begin{matrix} x &+y &-z &=k \\ -x &+y &+kz &=3 \\ 0x &+ky &+z &=5 \end{matrix}\right.\]

Entonces vamos a aplicar Gauss:

\[\begin{pmatrix} 1 &1 &-1 &k \\ -1 &1 &k &3 \\ 0 &k &1 &5 \end{pmatrix} \to (E_{2}'=E_{2}+E_{1}) \to \begin{pmatrix} 1 &1 &-1 &k \\ 0 &2 &k-1 &3+k \\ 0 &k &1 &5 \end{pmatrix}\]

\[\to (E_{3}'=2E_{3}-kE_{2}) \to \begin{pmatrix} 1 &1 &-1 &k \\ 0 &2 &k-1 &3+k \\ 0 &0 &2-k(k-1) &10-k(3+k) \end{pmatrix}\]

Fijate que a través de Gauss, obtuvimos la siguiente ecuación \[E_{3}\]

\[\left [2-k(k-1) \right ]z = 10-k(3+k)\]

Luego de algunos pasos despejamos z y nos queda:

\[z = \frac{k^{2}-3k+10}{-k^{2}+k+10}\]

Fijate que es una división. En una división, el divisor tiene que ser distinto de 0. Si el divisor fuera 0, esta ecuación no tendría soluciones reales, y el sistema en sí no tendría soluciones determinadas. Por lo tanto, para que el sistema sea compatible determinado, ese divisor tiene que ser distinto a 0.

Lo que resta ahora es encontrar las raices \[k_{1}\] y \[k_{2}\]. Estas raices son las que hacen que el divisor sea 0. Por lo tanto, para \[k=k_{1}\] y \[k=k_{2}\] el sistema va a ser o bien compatible indeterminado o bien incompatible. Para cualquier otro valor de k el sistema va a ser compatible indeterminado.