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Duda sobre simplificar proposiciones logicas
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condor12 Sin conexión
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Mensaje: #1
Duda sobre simplificar proposiciones logicas Ejercicios Análisis Matemático I
Hola a todos soy nuevo en el foro ojala me puedan ayudar ya que hace horas que estoy tratando de simplificar unas proposiciones logicas y no se como aplicar las leyes

Tengo estos ejercicios:

a) (p v q) ^ - q
b) (p ^ q) v p
c) (p v -q) ^ -p
d) (q → p) v q
e) [ -p v (q ^ p)] ^ [(q ^ -q) v p]

Si algun buen samaritano puede enseñarme como resolver esto se lo agradecería infinitamente ya que hace horas que me estoy rompiendo la cabeza. Gracias.
06-06-2018 01:36
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manoooooh Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Duda sobre simplificar proposiciones logicas
Hola condor12, bienvenido.

En este foro utilizamos un programa para escribir correctamente la matemática: acá tenés la información de cómo usarlo.

(06-06-2018 01:36)condor12 escribió:  Hola a todos soy nuevo en el foro ojalá me puedan ayudar ya que hace horas que estoy tratando de simplificar unas proposiciones lógicas y no se cómo aplicar las leyes

Tengo estos ejercicios:

a) (p v q) ^ - q
b) (p ^ q) v p
c) (p v -q) ^ -p
d) (q → p) v q
e) [ -p v (q ^ p)] ^ [(q ^ -q) v p]

Simplificar proposiciones anidadas se basa en una serie de leyes lógicas que, si las seguís al pie de la letra no vas a tener problemas en reducirlas. Todo depende de dos cosas:

  1. Conocer qué leyes sabés aplicar.
  2. Saber si te las piden demostrar (como De Morgan, equivalencia del condicional, etc.).


Por ejemplo el inciso b) es una consecuencia inmediata de haber aplicado absorción, y que resulta

\[(p\wedge q)\vee p\quad\Leftrightarrow\quad p.\]

Haceme saber estas cuestiones, más haber leído detenidamente el link que te mandé, y estaré encantado de ayudarte.

Saludos.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 06-06-2018 12:41 por manoooooh.)
06-06-2018 12:37
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condor12 Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Duda sobre simplificar proposiciones logicas
(06-06-2018 12:37)manoooooh escribió:  Hola condor12, bienvenido.

En este foro utilizamos un programa para escribir correctamente la matemática: acá tenés la información de cómo usarlo.

(06-06-2018 01:36)condor12 escribió:  Hola a todos soy nuevo en el foro ojalá me puedan ayudar ya que hace horas que estoy tratando de simplificar unas proposiciones lógicas y no se cómo aplicar las leyes

Tengo estos ejercicios:

a) (p v q) ^ - q
b) (p ^ q) v p
c) (p v -q) ^ -p
d) (q → p) v q
e) [ -p v (q ^ p)] ^ [(q ^ -q) v p]

Simplificar proposiciones anidadas se basa en una serie de leyes lógicas que, si las seguís al pie de la letra no vas a tener problemas en reducirlas. Todo depende de dos cosas:

  1. Conocer qué leyes sabés aplicar.
  2. Saber si te las piden demostrar (como De Morgan, equivalencia del condicional, etc.).


Por ejemplo el inciso b) es una consecuencia inmediata de haber aplicado absorción, y que resulta

\[(p\wedge q)\vee p\quad\Leftrightarrow\quad p.\]

Haceme saber estas cuestiones, más haber leído detenidamente el link que te mandé, y estaré encantado de ayudarte.

Saludos.

Gracias por tu respuesta manoooooh, el link fue de gran ayuda

Las leyes que hasta ahora he aprendido son de asociativa, complemento, identidad, conmutativa, idempotencia, involucion, De morgan o distributiva.

Se me hace mucho lio darme cuenta cual aplicar en cada caso
06-06-2018 13:04
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manoooooh Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: Duda sobre simplificar proposiciones logicas
Hola

(06-06-2018 13:04)condor12 escribió:  Las leyes que hasta ahora he aprendido son de asociativa, complemento, identidad, conmutativa, idempotencia, involución, De Morgan o distributiva.

Bien, supondré que no te van a pedir demostrar las leyes lógicas.

(06-06-2018 13:04)condor12 escribió:  Se me hace mucho lío darme cuenta cuál aplicar en cada caso.

Veamos el apartado a):

(06-06-2018 01:36)condor12 escribió:  \[\text{a)}\qquad(p\vee q)\wedge\neg q\]

¿Qué podemos hacer para simplificar esa proposición? Es claro que el conectivo "más afuera" es la conjunción, también tenemos unos paréntesis en el lado izquierda y una sola proposición al lado derecho; tiene pinta de aplicar la ley distributiva:

\[(p\wedge\neg q)\vee(q\wedge\neg q).\]

Si observamos el término a la derecha nos quedó

\[(q\wedge\neg q).\]

Si a eso lo pensamos como decir que q es verdadera pero luego negamos q, tenemos una contradicción: una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. Tenemos que ese término es falso para cualquier valor de q. Fijate la tabla de q ∧ ¬q:

\[\begin{array}{c|c|c}q&\neg q&q\wedge\neg q\\\hline\text V&\text F&\text F\\\text F&\text V&\text F\end{array}\]

¿Qué ocurriría si ambas proposiciones están unidas por un "o"?

Entonces tenemos

\[(p\wedge\neg q)\vee\text F,\]

dado que agregar cualquier proposición falsa con una disyunción a otra sigue siendo lo mismo (pues si decimos "Hoy llueve o soy rico", como "soy rico" es totalmente falso, lo podemos sacar para que resulte solo "Hoy llueve")

\[(p\wedge\neg q),\]

que es irreducible.

Para comprobar que el resultado es correcto se pueden armar las tablas de verdad de ambas proposiciones:

\[(p\vee q)\wedge\neg q \\\begin{array}{c|c|c|c|c}p&q&p\vee q&\neg q&(p\vee q)\wedge\neg q\\\hline\text V&\text V &\text V&\text F&\text F\\\text V&\text F&\text V&\text V&\text V\\\text F&\text V&\text V&\text F&\text F\\\text F&\text F&\text F&\text V&\text F\end{array}\]

\[p\wedge\neg q \\\begin{array}{c|c|c|c}p&q&\neg q&p\wedge\neg q\\\hline\text V&\text V&\text F&\text F\\\text V&\text F&\text V&\text V\\\text F&\text V&\text F&\text F\\\text F&\text F&\text V&\text F\end{array}\]

Vemos que ambas tienen las mismas cantidades de falsos que verdaderos, por tanto son equivalentes.

Para el resto de los ejercicios plantealos de forma similar, utilizando las leyes lógicas que mencionaste y armando las tablas de verdad), y sino volvé a preguntar.

Saludos.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 06-06-2018 14:34 por manoooooh.)
06-06-2018 14:13
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