Gente, les dejo un primer parcial de Análisis III de la UNQ, el cual no pude resolver, ni antes ni durante el parcial (conseguimos los modelos una hora antes del parcial, un asco). Lo malo es que no tenemos la resolución de este en particular y quisiera sacarme las dudas y cotejar, aunque no tome lo mismo en el recuperatorio, pero el orgullo me gana. Si lo puedo resolver bien, lo subo y les queda como uno más Pero agradezco algún alma piadosa y sabia lo resuelva y suba. Transcribo porque la fotocopia y letra del que copió es media fiucha , perdón si usé mal algunos simbolos con latex.


T1. Si \[f\] tiene derivadas parciales continuas en \[\Re^2\] demuestre explicando su razonamiento que \[\oint f(x^2+y^2).(x dx + y dy) = 0\] para cualquier curva cerrada suave a trozos en \[\Re^2\].

T2. Sea \[f: U \subseteq \Re ^2\rightarrow \Re \] una función continua y positiva. Sea \[a\] un número del rango de \[f\]. Suponga que la curva de nivel \[a\] de \[f\] es una curva cerrada simple \[C\] (curva de Jordan), cuyta longitud es \[L\]. ¿Cuál es el área del cilindro recto que se encuentra por la superficie \[z =f(x;y)\] y por encima del plano \[z = 0\] al cual corta la curva C? Represente gráficamente .

P1. Demuestre que la curva \[C1 : \vec{r}(t)= ( 2t ; 4t^2-1;8t^3)\] con \[t\epsilon [0;1]\] tiene la misma longitud de arco que la curva \[C2 : \vec{r}(t)= ( t ; t^2-1;t^3)\] con \[t\epsilon [0;2]\].

P2. Calcule el trabajo realizado por una partícula de masa m que se desplaza por la curva:
\[C : \begin{matrix}x=5cos-cos5t\\y= 5 sen t - sen 5t\end{Bmatrix}\]

con una aceleración \[\vec{a} (x;y)=(k;x)\], con k constante positiva en el tiempo \[t\epsilon [0;\pi ]\]

P3. Calcule \[\iint \,e^\frac{y-x}{y+x} dxdy\] si \[ D=\begin{matrix}x+y\leqslant 1\\ x\geqslant 0 \wedge y\geqslant 0\end{matrix}\right.\]
El resultado obtenido, ¿ representa un volumen? Justifique.

P1) observa que de la longitud de curva de \[C_2\] esta dada por

\[L_2=\int_C||C'_1(t)||dt=\int_{0}^{2} \sqrt{1+4t^2+9t^4} dt\]

para C1 nos conviene expresarla en su forma cartesiana, hechas las cuentas podes observar que

\[C=\left\{\begin{matrix}y=x^2-1\\ z=x^3 \end{matrix}\right.\]

de donde una parametrización conveniente será

\[C_1:R\to R^2/C(x)=(x,x^2-1,x^3)\quad x\in [0,2]\]

finalmente

\[L_1=\int_C ||C'_2(x)||dx=\int_{0}^{2}\sqrt{1+4x^2+9x^4}dx\]

de donde se cumple que \[L_1=L_2\]

Los otros los pienso

PD en el T1) es \[f(x^2+y^2)(......)\] o \[f((x^2+y^2))(......)\]

P3) hay que hacer un cambio de variables tomo

\[g:R^2\to R^2/g(u,v)=(u-v,u+v)\quad |D_g|=2\]

haciendo los calculos necesarios entonces

\[\iint_D exp\left ( \frac{y-x}{y+x} \right )dxdy=\iint_{D^*}2 exp \left ( \frac{v}{u} \right )dudv\quad exp=e\]

nos conviente cambiar los limites de integracion, como \[D^*\] es simetrico respecto de u, entonces, hechos los calculos o el dibujo del mismo

\[\iint_{D^*} 2exp \left ( \frac{v}{u} \right )dudv=2\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u} 2exp \left ( \frac{v}{u} \right )dvdu=\frac{1}{2}(e-1)\]

Por ser una region plana la región \[D^*\] no representa un vólumen

GRacias Saga por contestar!

Lamentablemente hoy trajo los parciales corregidos y vi el mío, desaprobado obviamente. Del único aprobado (somos 6, el otro que aprobó faltó y no vimos su examen) dejo la resolución:

T1) el integrando es un producto vectorial que resulta ser un rotor, quizo hacer green, pero el campo es irrotacional en \[\Re^3\], por lo tanto la integral es cero.

T2) La curva de nivel a está en el plano xy, la función es una superficie en el lado positivo del eje z. El cilindro recto está formado por C en el xy, y la intersección entre C y f(x;y) (el corte que le haría C a la superficie si la pudiera subir).
El área lateral del cilindro recto es
\[\oint_{C}^{.} f(x;y) ds f (x;y) = a ; \oint_{C}^{.} ds = L\]
Con lo cual el área es a.L

P1) Calculó imagenes de r(t) en los extremos de los intervalos. Para C1 y C2 obtuvo los mismos puntos de inicio y de fin.
Luego parametrizó en polares y eran iguales.

P2) se usan las fórmulas \[\int \vec{F}d\vec{s}\], y \[ \vec{F}=m\vec{a}\]. Se integra el choclito obtenido y el resultado era una expresión bastante simple.

P3) Lo resolvió como dijo Saga, pero la integral según mi profe sí representa un volumen. D (o D*) es la base del sólido, la función exponencial es la tapa. Yo puse que no, porque no puedo evaluar en el origen, pero me corrigió que como el origen es frontera está acotado.. cosa que no terminé de entender por más vueltas que me dio

Un bajon, el p2) ya lo tenia hecho, es como vos decis, solo que no lo subi por falta de tiempo, el p1) es lo mismo, solo que el uso polares y yo solo cartesianas, los demas los estaba pensando, bueno che gracias por compartir el parcial y sus resultados, esta muy bueno este parcial, bastante integrador , espero que te vaya mejor en los proximos parciales cualquier duda, si podemos colaborar por aca

En el P2 combinaron temas de física I con análisis II que loco, por casa no se ve jajaja. Calculo que es porque acá análisis II y física I no son correlativas(?)

Eso se debe a que el profe es ingeniero mecánico, y dió/da clases en la UBA durante/hace muchos años y la forma de enseñar más orientada a la investigación: todo es para encarar problemas reales y generar modelos matemáticos partiendo de nada.

Para evitar abrir muchos temas sobre lo mismo, vengo con otro parcial de análisis del mismo profe.
Los ejercicios que me traban son P2 y P3, en el último no vale usar integrales triples, es tema del segundo parcial, vale sólo con dobles.

Perdón por la calidad, la caligrafía del flaco no es la mejor xD. En el tercer práctico las ecuaciones son:
\[z=x^2+y^2 \]
\[z=2x^2+2y^2\]
\[z=2\]

   

P3) aplicando polares sobre la proyeccion tenes para resolver (salvo error en cuentas)

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^3drd\theta+\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{2}}(2r-2r^3)drd\theta=\pi\]

p2) por dato sabes que

\[F=ma\to (0,2,0)=ma\to a=\left(0,\frac{2}{m},0\right)\]

por definicion

\[v(t)=\dfrac{dr}{dt}=v(0)+at \]

luego

\[\dfrac{dr}{dt}=\left(1,1+\dfrac{2}{m}t,1\right)\]

integrando

\[r(t)=\left(t+k,\dfrac{t^2}{m}+t+c,t+h\right)\]

por dato

\[r(0)=\left(k, c, h)=(1,1,0)\]

finalmente

\[r(t)=\left(t+1,\dfrac{t^2}{m}+t+1,t\right)\]