Hola, me podrían ayudar a resolver esta ecuación que no me sale por favor (paso por paso).

1) Hallar los valores de x sabiendo que \[0\leq x\leq \2Pi \]:

\[(1 - sen x)^{2} - 3sen x = 3 + cos^{2} x\]

Gracias...

Este video te puede orientar

\[(1 - sen x)^{2} - 3sen x = 3 + cos^{2} x\]

Desarrollo el cuadrado

\[\sin ^2(x)-3 \sin (x)-2 \sin (x)+1=\cos ^2(x)+3\] (I)

Por relación trigonométrica

\[\sin ^2(x)+\cos ^2(x)=1\]

\[\cos ^2(x)=1 -\sin ^2(x)\]

Y reemplazo en (I)

\[\sin ^2(x)-3 \sin (x)-2 \sin (x)+1=1 -\sin ^2(x)+3\]

Fijate ahora si te sale.

Me quedó así...

\[(1 - sen x)^{2} - 3 senx = 3 + cos^{2}x\]
\[(1 - 2 sen x + sen^{2}x) - 3 sen x = 3 + cos^{2}x\]
\[sen^{2}x - 5 sen x = 2 + cos^{2}x\]

\[sen^{2}x + sen^{2}x - 5 senx = 3\]
\[2 sen^{2}x - 5 sen x - 3 = 0\]

Uso resolvente y me da dos valores...

\[x1 = 3 \]
\[x2 = -1/2\]

Entonces...

\[sen x = 3\]
\[sen x = -1/2\]

¿Cómo continuo? Está bien hasta ahí o me re confundí?

El arco-seno de 3 me da error, entonces supongo que la solución no es válida.

Claro, la solucion senx = 3 no es valida, porque la funcion seno esta acotada entre -1 y 1.

Ahora, si senx = -1/2 entonces X = -30º = \[-\frac{\pi }{6}\]

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Y como te pide todos los valores de x entre 0 y 2pi...

X1 = 30º = \[-\frac{\pi}{6} \]

X2 = 210º = \[\frac{ 7}{6}\pi \]

Gracias. Una última consulta (es medio boba pero bueno...) Cuando dice que los valores tienen que ser entre 0 y 2pi (me refiero a los "x"), cómo hago para encontrar el segundo valor que anotaste como x2 = 210 grados?

Pensa que la funcion seno es negativa en el tercer y cuarto cuadrante...por lo que vas a tener dos angulos que van a tener un seno de valor -1/2.

Con el arcsen hallas uno (en este caso el del cuarto cuadrante) y despues lo que haces es "proyectarlo" al tercero

Graficamente se ve mucho mejor...

Listo, gracias!