Hola gente, me estoy muriendo de panico porque no me sale este ejercicio. Ni siquiera lo entiendo...y eso que hice todos los ejercicios anteriores...


19. Sean S1 y S2 subespacios de R3:

\[S_{1}=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/x=0;y=2z \ \}\]

\[S_{2}=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/x-y=0;z=0 \ \}\]

Determine un subespacio \[S\subseteq \mathbb{R}^{3}\] tal que \[S_{2}\subseteq S\wedge S_{1}\oplus S=\mathbb{R}^{3}\]


Alguien me puede dar una mano??

Hola capo, mira te ayudo con lo que se y asi muy por arriba a ver si lo podes encarar.

Para que el subesapacio S que tenes que buscar cumpla esas condiciones tenes que:

- Calcula la dimension de S1
- Te pide que sea suma directa con S1, asi que ahi vas a tener que ver teniendo en cuenta la dimension que calculaste de S1, como hacer para que se te cumpla el teorema de las dimensiones para que la suma sea directa, osea:

Dim(S1) + Dim (S) - Dim(S1 intersección S) = 3 (3 es la dimenson de R3)

- No te olvides que a la vez tambien se tiene que cumplir que S este incluido en S2, osea que la dimension de S sea igual o menor que la de S2. Para esto calcula la dimension de S2, y despues de eso enganchala con la segunda condicion

Si llegaste al ejercicio 19 supongo que esto te va a orientar jajaja tampoco se una barbaridad jaja


Ojala te haya servido,
suerte!

Rodrigo

Otra manera que podes encarar el ejercicio, es verlo desde un punto de vista geométrico, si observas tanto S1 como S2 son rectas que pertenecen a R3 que por ser subespacios pasan por el origen, de las condiciones del enunciado, deducís que S va a tener dimension 2, o sea S geometricamente corresponde a la ecuación de un plano, te piden que S2 este incluida en ese plano, y ademas que S1 sea suma directa con S, geometricamente significa que la recta S1 corta al plano S pero NO de forma perpendicular, sino formando un cierto ángulo, para este ejercicio en particular.
Si expresamos las ecuaciones de las rectas S1 y S2 tenemos

\[S1: z(0,2,1)\quad z\in R\qquad S2: y(1,1,0)\quad y\in R\]

para poder hallar el plano S necesitamos como mínimo dos vectores incluidos en él, uno ya lo tenes S2, debemos hallar otro, para poder definir el plano. Si haces el dibujo de la situación, planteamos el producto vectorial entre los directores de las rectas dadas, salvo error en cuentas obtengo el vector \[v=(-1,1,-2)\], ya puedo definir S, haciendo

\[n_S=v\times S2=(1,-1,-1)\quad \times=\mbox{ producto vectorial }\]

la ecuacion del plano \[S: x-y-z=0\]

Si no me equivoque razonando el problema, se verifican las dos condiciones del ejercicio, podes hacerlo planteando el teorema de las dimensiones.

se q este post es de casi un año maso menos pero no se si me podrian explicar, va saga, quien fue q lo puso, porque para definir el plano hiciste el producto vectorial entre los vectores directores de la rectas (eso lo entiendo) pero porq dsp un producto vectorial mas entre el vector director de la recta y el vector de la resultante anterior. O sea no alcanzaba con solo tomar la normal como el producto vectorial entre los vectores directores de la recta? todo lo otro lo entendi perfecto, eso solo eso. Gracias