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[Ej 8 y 9 - Guia Normal] Ejercicio de Transformaciones Lineales
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Gonsha Sin conexión
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Mensaje: #1
[Ej 8 y 9 - Guia Normal] Ejercicio de Transformaciones Lineales Ejercicios Álgebra y Geometría Analítica
Hola gente, como andan?

Bueno estaba practicando ejercicios de la guia de TL y hay dos que no me sale. Estos dicen:
1.
Halle la expresion analitica de la siguiente transformacion (\[\mathbb{R}^{2}->\mathbb{R}^{2}\])

Rotacion de un angulo de \[-\frac{\pi }{3}\]

2. Halle la expresion analitica de las siguiente transformaciones (\[\mathbb{R}^{3}->\mathbb{R}^{3}\])

a) Reflexion respecto del plano x = y.
b) Reflexion respecto del plano y + z = 0.


La verdad no se como resolverlos. ¿Quien me da una mano?

Saludos!

[Imagen: tumblr_mram6vK6161rxdmpio1_400.gif]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 17-09-2012 10:35 por Gonsha.)
17-09-2012 10:15
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Ej 8 y 9 - Guia Normal] Ejercicio de Transformaciones Lineales
1) supongo que es una rotación en la bases canonicas, con centro en el origen, tomando (1,0) si lo rotas un angulo \[\alpha=-\frac{\pi}{3}\]

tenes que

\[T(1,0)=(\cos\alpha,-\sin\alpha)\]

tomando el (0,1) rotandolo el mismo angulo tenés

\[T(0,1)=(\sin\alpha,\cos\alpha)\]

de donde la matriz de la transformacion va a ser

\[T(x,y)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha &\cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\]

solo reemplaza el angulo, si no me equivoque razonandolo, deberia salir con eso el primer item.

Para los que siguen

a) si haces un dibujo del plano \[y=x\] notaras que lo que te piden es una TL que haga simetrica de los puntos del espacio, tomando la base canónica, y por observacion del dibujo

podes definir la TL pedida, el \[(0,0,1)\] se encuentra sobre el eje de simetria por lo tanto \[T(0,0,1)=(0,0,1)\], con \[z=0\] no situamos sobre el plano xy, donde el simetrico

del \[(1,0,0)\] es el \[(0,1,0)\] y viceversa, por lo tanto la matriz de la transformacion lineal es

\[T(x,y,z)=\begin{pmatrix}{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}\]

b) es análogo al anterior

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 17-09-2012 21:53 por Saga.)
17-09-2012 20:25
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Gonsha (18-09-2012)
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Mensaje: #3
RE: [Ej 8 y 9 - Guia Normal] Ejercicio de Transformaciones Lineales
Spoiler: Mostrar
(17-09-2012 20:25)Saga escribió:  1) supongo que es una rotación en la bases canonicas, con centro en el origen, tomando (1,0) si lo rotas un angulo \[\alpha=-\frac{\pi}{3}\]

tenes que

\[T(1,0)=(\cos\alpha,-\sin\alpha)\]

tomando el (0,1) rotandolo el mismo angulo tenés

\[T(0,1)=(\sin\alpha,\cos\alpha)\]

de donde la matriz de la transformacion va a ser

\[T(x,y)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha &\cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\]

solo reemplaza el angulo, si no me equivoque razonandolo, deberia salir con eso el primer item.

Para los que siguen

a) si haces un dibujo del plano \[y=x\] notaras que lo que te piden es una TL que haga simetrica de los puntos del espacio, tomando la base canónica, y por observacion del dibujo

podes definir la TL pedida, el \[(0,0,1)\] se encuentra sobre el eje de simetria por lo tanto \[T(0,0,1)=(0,0,1)\], con \[z=0\] no situamos sobre el plano xy, donde el simetrico

del \[(1,0,0)\] es el \[(0,1,0)\] y viceversa, por lo tanto la matriz de la transformacion lineal es

\[T(x,y,z)=\begin{pmatrix}{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}\]

b) es análogo al anterior
Y bue cuando uno es groso, no hay nada que hacerle.

Gracias man!

[Imagen: tumblr_mram6vK6161rxdmpio1_400.gif]
18-09-2012 00:05
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