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[Ej 9.j)]Integrales por Fracciones simples
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Gonsha Sin conexión
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Mensaje: #1
[Ej 9.j)]Integrales por Fracciones simples Ejercicios Análisis Matemático I
Hola gente. Pongo otro ejercicio que no me sale y que es el 9. j de la seccion de integrales por fracciones simples. Este dice:

\[\int \frac{x^{4}}{1-x^{10}}dx\]

Lo unico que se me ocurrio fue expresar el denominador como:

\[(x-1)^{5}(x+1)^{5}\]

Pero ademas de hacerse muy largo el ejercicio, me parece que ni eso esta bien.

Alguien tiene idea de como hacerlo?

Un abrazo.

[Imagen: tumblr_mram6vK6161rxdmpio1_400.gif]
08-10-2012 17:03
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Martin. Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Ej 9.j)]Integrales por Fracciones simples
suponiendo que eso que planteaste en el denominador está correcto, la integral sería algo así


\[\int \frac{x^{4}}{1-x^{10}}\] = \[\int \frac{A}{(x-1)^{5}}\] + \[\int \frac{B}{(x-1)^{4}}\] + \[\int \frac{C}{(x-1)^{3}}\] + \[\int \frac{D}{(x-1)^{2}}\] + \[\int \frac{E}{(x-1)^{}}\] + \[\int \frac{F}{(x+1)^{5}}\] + \[\int \frac{G}{(x+1)^{4}}\] + \[\int \frac{H}{(x+1)^{3}}\] + \[\int \frac{I}{(x+1)^{2}}\] + \[\int \frac{J}{(x+1)^{}}\]


Despues calculas todos los valores de la forma tradicional de las fracciones simples

(No te lo hago porque es muy largo y mucha fiaca)

Igual si de algo sirve

\[1-x^{10}\] = \[(1-x^{5})(1+x^{5})\]
Igual ahora que lo pienso podes hacer un paso previo antes de resolver que es una sustitución

Planteas:

u=\[x^{5}\]
du=\[5x^{4}\]
\[\frac{du}{5}\]= \[x^{4}\]


Por lo que la integral quedaría

\[\frac{1}{5}\int \frac{1}{1-u^{2}}du\]

Que eso es igual a

\[\frac{1}{5}\int \frac{1}{(1-u)(1+u)}du\]


Y esa es una fraccion simple tradicional
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 08-10-2012 19:13 por Martin..)
08-10-2012 18:27
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Gonsha Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: [Ej 9.j)]Integrales por Fracciones simples
(08-10-2012 18:27)Maartin escribió:  suponiendo que eso que planteaste en el denominador está correcto, la integral sería algo así


\[\int \frac{x^{4}}{1-x^{10}}\] = \[\int \frac{A}{(x-1)^{5}}\] + \[\int \frac{B}{(x-1)^{4}}\] + \[\int \frac{C}{(x-1)^{3}}\] + \[\int \frac{D}{(x-1)^{2}}\] + \[\int \frac{E}{(x-1)^{}}\] + \[\int \frac{F}{(x+1)^{5}}\] + \[\int \frac{G}{(x+1)^{4}}\] + \[\int \frac{H}{(x+1)^{3}}\] + \[\int \frac{I}{(x+1)^{2}}\] + \[\int \frac{J}{(x+1)^{}}\]


Despues calculas todos los valores de la forma tradicional de las fracciones simples

(No te lo hago porque es muy largo y mucha fiaca)

Igual si de algo sirve

\[1-x^{10}\] = \[(1-x^{5})(1+x^{5})\]
Igual ahora que lo pienso podes hacer un paso previo antes de resolver que es una sustitución

Planteas:

u=\[x^{5}\]
du=\[5x^{4}\]
\[\frac{du}{5}\]= \[x^{4}\]


Por lo que la integral quedaría

\[\frac{1}{5}\int \frac{1}{1-u^{2}}du\]

Que eso es igual a

\[\frac{1}{5}\int \frac{1}{(1-u)(1+u)}du\]


Y esa es una fraccion simple tradicional

Eso era exactament elo que tenia idea (lo pude en mi post original). No te parece poco ortodoxo? jaaja

[Imagen: tumblr_mram6vK6161rxdmpio1_400.gif]
08-10-2012 20:06
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Mensaje: #4
RE: [Ej 9.j)]Integrales por Fracciones simples
JAjaja si.

Igual como te puse recien 1-x^10 es (1-x^5)*(1+x^5) Y ahi sale una integral mas sencilla
08-10-2012 20:24
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Mensaje: #5
RE: [Ej 9.j)]Integrales por Fracciones simples
(08-10-2012 20:24)Maartin escribió:  JAjaja si.

Igual como te puse recien 1-x^10 es (1-x^5)*(1+x^5) Y ahi sale una integral mas sencilla

Lo intente hacer asi tambien pero ni lo pude hacer.

Como te quedo a vos?

Abrazo!

[Imagen: tumblr_mram6vK6161rxdmpio1_400.gif]
08-10-2012 22:37
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Mensaje: #6
RE: [Ej 9.j)]Integrales por Fracciones simples
Yo llegue a que la integral es


\[\frac{1}{10}ln|1-x^{^{5}}| + \frac{1}{10}ln|1+x^{^{5}}|\]
08-10-2012 23:21
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Diego Pedro Sin conexión
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que calor no?
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Mensaje: #7
RE: [Ej 9.j)]Integrales por Fracciones simples
Lo estuve haciendo y me quedo algo así (muy parecido a lo tuyo Martin igual xD)

\[\frac{1}{10}\left \lceil ln \left | -x^5 - 1 \right | + ln \left | x^5-1 \right |\right \rceil\]

Fijate en fotocopiadora que están los resueltados de esta guía, faltan un par de la última unidad nomás.
09-10-2012 01:52
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