Hola a todos, estoy terminando de preparar el final para mañana, pero todavia no puedo entender como se aproxima a un valor usando Taylor. El ejercicio del final es el siguiente:

Halle una aproximacion cuadratica de la funcion \[F(x) = 2 + x\int_{0}^{x}\frac{cos(t)}{t^{2}+1}dt\] en x=0 y a partir de esta aproxime el valor de F(0,2).

Lo unico que pude hacer y no se si esta bien es sacar el polinomio de grado 2 centrado en x=0. Que me dio: \[P_{2}(x)=2+\frac{2x^{2}}{2!}\]

No entiendo como se aproxima el valor de F(0,2). No hace falta que resuelvan el ejercicio, solo quiero entender por lo menos como plantearlo a partir de aca. Muchas gracias.

Se usa la fórmula
\[f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x). \Delta x \]

Donde x=0 y el delta x es 0,2

Es todo!

EDIT: Perdón... leí así rápido el ejercicio. Lo único que tenes que hacer es reemplazar 0,2 en el P(x) que hallaste y listo. Tené en cuenta que un polinomio de Taylor es una aproximación a la función en un entorno de x que se pida. Cuanto más derives una función, mejor es la aproximación y podes extenderte en un entorno más extenso... como 0,2 está "cerca" de 0, no necesitas muchas derivadas para tener una aproximación exacta.

Muchas gracias por tu respuesta! Tengo que reemplazar esos valores en F(x) o en P(x) ??

En P(x)...

Solo eso tengo que hacer? Si me hubieran pedido acotar el error existe alguna formula?

Si, sólo eso! Para acotar el error, estan las fórmulas del resto (que aún no he visto que las tomen salvo la profesora Anaya)...