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Ejercicio de final Algebra y Goemetria
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Adriana BT Sin conexión
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Mensaje: #1
Ejercicio de final Algebra y Goemetria Finales Álgebra y Geometría Analítica
Hola a todos! tengo una duda con 2 ejercicios de un final del 02-03-12
El primero

Sean los numeros reales \[\lambda \] y k y la matriz cuadrada real A, Si \[\lambda \] es un autovalor real de la matriz cuadrada A correspondiente a un autovector v, entonces el numero \[\lambda \]-k es un autovalor de la matriz B=A - kI y v es un autovector de B correspondiente a \[\lambda \]-k
Nota: I es la matriz identidad del mismo orden que A

El segundo
Determina los puntos del plano complejo que satisfacen la inecuacion:
\[\left | z - 2i \right |^{^{2}} - Re\left ( z^{2} \right )\leq 2\left [ Im \left ( z \right ) \right ]^{2} - Re\left ( z \right )\] Represente graficamente dicho conjunto

Trate de resolver el primero pero sigo sin entender, es muy probable que este mal, ni siquiera puedo darme cuenta si el razonamiento es correcto jaja (mal!!)

\[B = A - kI\]
\[B + kI = A\]
Sabiendo que en \[\left | A - \lambda I \right |=0 \], \[\lambda \] es el autovalor correspondiente a \[\underset{v}{\rightarrow}\]

entonces puedo decir que?
\[\left [ B + kI - \lambda I \right ]=0\]
\[\left [ B + \left ( k-\lambda \right )I \right ]=0\]
\[\left [ B - \left ( \lambda -k \right )I \right ]=0\]
de donde saco que \[\left ( \lambda -k \right )\] es el autovalor de B correspondiente a un vector \[\underset{x}{\rightarrow}\]

es correcto resolverlo asi?? que me falta para al que el ejercicio esta terminado??

el segundo no lo entiendo ni a palos.. el que pueda ayudarme gracias!!!
23-02-2013 11:14
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Taylor Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Ejercicio de final Algebra y Goemetria
(23-02-2013 11:14)Adriana BT escribió:  Sean los numeros reales \[\lambda \] y k y la matriz cuadrada real A, Si \[\lambda \] es un autovalor real de la matriz cuadrada A correspondiente a un autovector v, entonces el numero \[\lambda \]-k es un autovalor de la matriz B=A - kI y v es un autovector de B correspondiente a \[\lambda \]-k
Nota: I es la matriz identidad del mismo orden que A


\[B = A - kI\]
\[B + kI = A\]
Sabiendo que en \[\left | A - \lambda I \right |=0 \], \[\lambda \] es el autovalor correspondiente a \[\underset{v}{\rightarrow}\]

entonces puedo decir que?
\[\left [ B + kI - \lambda I \right ]=0\]
\[\left [ B + \left ( k-\lambda \right )I \right ]=0\]
\[\left [ B - \left ( \lambda -k \right )I \right ]=0\]
de donde saco que \[\left ( \lambda -k \right )\] es el autovalor de B correspondiente a un vector \[\underset{x}{\rightarrow}\]


En algo te puedo ayudar, menos en el de complejos por el momento...
Empecemos,

Sabemos que
\[A.X = \lambda. X\] por definicion no?

Haciendo caso a lo que nos dicen en el ejercicio y usando sus letras....

\[A.v = \lambda. v\]

Ahora nos dan otra matriz, que es \[A - KI = B\] , y otro autovalor, que es el \[\lambda_2= \lambda - K\] , entonces quedaria:

\[B.v = \lambda_2. v\]

Reemplazando valores:

\[[(A - KI)-(\lambda - K)].v=0\]

Como A es una matriz cuadrada, simplemente para entender, quedaria algo asi

\[(A - KI)\] = \[A=\begin{pmatrix}a-k & b & c\\ d & f-k & g\\ h &i & j-k \end{pmatrix}\]

Si ahora, a esta matriz le restamos el \[(\lambda - K)\]

\[(A - KI)-(\lambda - K)\] = \[A=\begin{pmatrix}a-K-\lambda + K & b & c\\ d & f-k-\lambda + K & g\\ h &i & j-K-\lambda + K \end{pmatrix}\]

Si observas bien las K desaparecen... quedandonos solamente la ecuacion normal de los autovalores y autovectores.

23-02-2013 14:01
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Adriana BT Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: Ejercicio de final Algebra y Goemetria
Gracias Taylor por responder con rapidez!

Entonces se puede decir que \[\left ( \lambda -k \right )\] es un autovalor de la matriz B=A-kI y v es un autovector de B correspondiente a \[\left ( \lambda -k \right )\] ????
23-02-2013 20:28
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Taylor Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: Ejercicio de final Algebra y Goemetria
ajam

23-02-2013 20:32
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feder Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: Ejercicio de final Algebra y Goemetria
uhhh, este es el final que me pusieron un 2 =P jajaja, el de complejos es de los más fáciles.

todos empiezan igual, "z" es un número complejo que lo llamás arbitrariamente \[x+iy\]. Entonces \[z-2i\] sería \[x+(y-2)i\]. Al final nos ponen Re(z^2) así que tenemos que ver quien es z al cuadrado. Si dijimos que z es x+iy, entonces \[z^2\] será \[(x+iy)^2\]. Resolvemos teniendo cuidado con algo, \[x^2+2xyi-y^2\]. IMPORTANTE !! es \[-y^2\] porque cuando hacés \[(iy)^2\], como \[i\] es \[\sqrt{-1}\], al elevarlo al cuadrado te queda -1, OJO con esto. si lo acomodás te queda \[x^2-y^2+2xyi\].

ENTONCES !! \[\left |z-2i \right |\] es \[\left |x+(y-2)i \right |\], es lo mismo que el módulo de un vector, la raíz de la suma de los cuadrados, pero como dice el \[|z-2i|^2\] la raíz se va ! ---> nos queda entonces: \[x^2+(y-2)^2\]. A esto le tenemos que sumar la parte real de z que es simplemente "x". Así que este lado de la desigualdad nos queda: \[x^2+(y-2)^2+x\]... en el otro lado tenemos la parte imaginaria de z al cuadrado o sea, \[y^2\], multiplicada por 2, \[2y^2\]; sumado a la parte real de \[z^2\] que calculamos antes, que si te das cuenta es \[(x^2-y^2)\].

Así que esto es: \[x^2+(y-2)^2+x \leq 2y^2+x^2-y^2\] \[\rightarrow \] \[x^2+y^2-4y+4+x \leq y^2+x^2\] \[\rightarrow \] \[-4y+4+x \leq 0 \] \[\rightarrow \] \[1+x/4 \leq y\]

Nos quedó simplemente una recta. La graficás con línea CONTINUA, porque dice mayor o IGUAL, y como la \[y\] es mayor, tendrías que "colorear" lo que te queda arriba de la recta.

Otra forma de hacer el otro. Que \[\lambda \] sea autovalor de \[A\] significa que satisface: \[\left |A-\lambda I |=0\]

Entonces, nos proponen ver si \[\left |B-(\lambda-k) I |=0\]. Como \[B=A-kI\], nos queda: \[\left |A-kI-(\lambda-k) I |=0\]. Distribuimos los escalares: \[\left |A-kI-\lambda I+kI |=0\]. Y ahí vemos que se cancelan los kI quedandote: \[\left |A-\lambda I |=0\]

Como por hipótesis esto era cierto, podés decir que está todo bien. Saludos y espero que haya quedado claro.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 24-02-2013 01:58 por feder.)
24-02-2013 01:45
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Mensaje: #6
RE: Ejercicio de final Algebra y Goemetria
Muy bien Feder! Fijate que los dos hicimos lo mismo en el tema de los autovalores y autovectores, pero yo le desarrolle mas a lo práctico para que entienda el tema de como se hacian las operaciones, igual, tu respuesta es válida.

No se de complejos, pero buena onda respondiendolos! thumbup3

24-02-2013 02:08
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Mensaje: #7
RE: Ejercicio de final Algebra y Goemetria
Gracias Feder!! la verdad no le preste mucha atencion a los complejos, por lo que vi en la teoria hoy no es nada complicado. Muchas gracias!!!!!
24-02-2013 12:16
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