Hola a todos, tengo una duda con el planteo de este ejercicio. No tengo bien en claro cuando puedo aplicar los criterios, si bien dan cosas que supongo yo que son razonables. El ejercicio es el siguiente:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n -1}{n^{2} + 2}\]

Plantie el criterio del cociente o de D'Alambert y me dio que el limite era 1, por lo que el criterio no decide.
Entonces utilice el siguiente criterio de comparación (el que tengo mis dudas):

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n -1}{n^{2} + 2} <\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n^{2}}\]

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} = \infty \rightarrow DV\] (Porque es una armonica con p = 1).

Entonces por ello pude inferir que la serie que me dieron originalmente es DV. Les agradeceria que me corrijan si lo que hice esta mal. Muchas gracias!

Está perfecto como lo planteaste, no tengas dudas.. De echo esa es una serie muuuy del criterio de comparación, encaja perfecto.
Otro criterio que podías aplicar es el criterio de comparación de límite:
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{2}{n}}{\frac{2n-1}{n^2+2}}=\frac{1}{2}\]
y
\[0<\frac{1}{2}<\infty \]
luego
\[\frac{2}{n}\rightarrow DV\Rightarrow \frac{2n-1}{n^2+2}\rightarrow DV\]
Saludos