Por fin encontré una explicación "racional" =P , dice así:

"Se comprueban las soluciones. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación, podemos estar añadiendo una solución ficticia"



---
Hola como van, quería consultar ya que en el siguiente ejercicio, luego de hacer las operaciones pertinentes, calcular la cuadrática y obtener 2 raíces, en la solución figura sólo uno de los valores y quería saber cuál sería la lógica, más allá de la verificación empírica.

Paso a mostrarles mi procedimiento:

\[\sqrt{3x-1} - \sqrt{8-x} = \sqrt{9-4x}\]

\[(\sqrt{3x-1} - \sqrt{8-x})^2 = (\sqrt{9-4x})^2\]

\[3x-1 - 2.\sqrt{3x-1}.\sqrt{8-x}+8-x = 9-4x\]

\[ -2.\sqrt{3x-1}.\sqrt{8-x} = 9-4x+x-8- 3x+1\]

\[ -2.\sqrt{3x-1}.\sqrt{8-x} = -6x+2\]

\[ 2.\sqrt{3x-1}.\sqrt{8-x} = 6x-2\]

\[ (2.\sqrt{3x-1}.\sqrt{8-x})^2 = (6x-2)^2\]

\[ 4.(3x-1).(8-x) = 36x^2 -24x +4\]

\[96x-12x^2-32+4x = 36x^2 -24x +4\]

\[48x^2 -124x +36 = 0\]

\[4(12x^2 -31x +9) = 0\]


Y al hacer la cuadrática con \[12x^2 -31x +9\] para saber que valores me dan cero ahí, los resultados que obtengo son:

\[x_{1}=\frac{1}{3} \]

\[x_{2}=\frac{9}{4} \]

y la solución que figura en el cuaderno es \[\frac{9}{4}\].

Como decía al principio, si uno prueba ambos valores se deduce que con \[X_{1}\] no da la igualdad. Pero hay forma de darse cuenta de antemano, en alguno de los pasos previos?

O mejor dicho de que forma puede uno darse cuenta, usando la lógica, que ese valor no puede tomarse como raíz?

chas gracias

Te falto analizar el conjunto de existencia de esa ecuacion, recorda que al ser raices tenes que lo que esta adentro del radicando es siempre mayor o igual a cero, pero ademas al tener en el primer miembro de la ecuacion una resta de raices, se tiene que cumplir que

\[3x-1\geq 8-x\]

por ende el conjunto de existencia (dominio) es

\[D=[3x-1\geq 0 \wedge 8-x\geq 0 \wedge9-4x\geq 0]\quad \wedge\quad [3x-1\geq 8-x]\]

de ahi deducis que valor o valores puede tomar la variable x

Siempre en ecuaciones con cocientes, raices y logaritmos, no te olvides analizar su conjunto de existencia

(19-01-2013 22:36)Saga escribió:  Te falto analizar el conjunto de existencia de esa ecuacion, recorda que al ser raices tenes que lo que esta adentro del radicando es siempre mayor o igual a cero, pero ademas al tener en el primer miembro de la ecuacion una resta de raices, se tiene que cumplir que

\[3x-1\geq 8-x\]

por ende el conjunto de existencia (dominio) es

\[D=[3x-1\geq 0 \wedge 8-x\geq 0 \wedge9-4x\geq 0]\quad \wedge\quad [3x-1\geq 8-x]\]

de ahi deducis que valor o valores puede tomar la variable x

Siempre en ecuaciones con cocientes, raices y logaritmos, no te olvides analizar su conjunto de existencia

Buenísimo gracias! Mucho más claro. Claro, la diferencia de raíces en el miembro izquierdo tiene que ser positiva porque la raiz del otro miembro es cuadrada y por ende también positiva, y con 1/3 queda negativo del lado izquierdo.

De las de cociente, me fijo los valores que no me anulen el denominador; en lo que respecta a raíces veo que tengo que prestar atención a este tipo de cuestiones de signo, y de logaritmo aún no llegué..

Es que estoy viendo las cosas solo, no cursé ninguna vez el seminario, arranco en febrero pero estoy tratando de avanzar porque estoy medio oxidado jej. Repasando y reaprendiendo.

Gracias nuevamente.

tal cual..... cualquier duda, estamos para ayudar en lo que se pueda, exitos en el ingreso