Hola Gente! Tengo dudas con un ejercicio del primer parcial del 28-5-2010

Sea \[g\left ( x \right )= 4x^{2}+ln\left ( x \right )\]
b2) Calcular la derivada de \[g^{-1}(4)\]

Yo primero busque la funcion inversa de g(x) y no la pude hallar, lo que hice fue esto..

\[g\left ( g^{-1}\left ( x \right ) \right )=x\]
\[4\left ( g^{-1} \right )^{2}+ln\left ( g^{-1} \right )=x\]
\[ln\left ( g^{-1} \right )=x-4\left ( g^{-1} \right )^{2}\]
por propiedad de los logaritmos puedo escribir la igualdad de la siguiente forma
\[e^{\left ( x-4\left ( g^{-1} \right )^{2} \right )}= g^{-1}\]
y de ahi no se como seguir...

alguien que me pueda ayudar por favor!?

Traté de resolverlo de dos formas, pero no me salió... una era la que hiciste, pero llegué a lo mismo y luego hice esto:

(Considerando a y=g(x))

y=4x^2+ln(x)
y-ln(x)=4x^2
y-ln(x)=(2x)^2
sqrt(y-ln(x))=|2x| => me queda con módulo

dyvakrrillo sabes que, el ultimo paso no lo entiendo, aplicas raiz cuadrada a ambos miembros?
en ese caso sigo sien entender por que no logro identificar \[g^{-1}\left ( x \right )\]

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saga:
jajaja imposible! cuando lei que g(x) es una funcion diferenciable morí! busque en todo mi cuadreno y no encontre esa definicion... me la podrias pasar? ja

Como lei que la pregunta iba dirigida a dyvakrrillo, pense que no te intereso mi respuesta entonces opte por borrar mi mensaje anterior, disculpa estoy sensible hoy jeje lo que dije fue

Esta bien como lo empezaste....pero hay que aclarar que:

con x>0 la funcion es inyectiva, ademas como es extricamente creciente en este dominio es sobreyectiva, entonces g es biyectiva, por lo tanto existe su inversa, luego se cumple que

\[g(g^{-1}(x))=x\]

g es una funcion diferenciable para todo x perteneciente a su dominio entonces puedo aplicar la regla de la cadena

\[g'(g^{-1}(x))\cdot g'^{{-1}}(x)=1\to g'{^{-1}}(x)=\frac{1}{g'(g^{-1}(x))}\]

nos piden

\[g'{^{-1}}(4)=\frac{1}{g'(g^{-1}(4))}\]

como g es biyectiva entonces se cumple que

\[g^{-1}(4)=x\Leftrightarrow 4=g(x)\rightarrow 4x^2+\ln(x)=4\]

a "ojimetro", ya que con lo que sabes de am1 no vas a poder despejar x de esa ecuacion, la igualdad se cumple cuando x=1, entonces

\[g'{^{-4}}(4)=\frac{1}{g'(g^{-1}(4))}=\frac{1}{g'(1)}\to \boxed{g'(4)=\frac{1}{9}}\]

en am1 diferenciable= derivable simplemente eso

jaja Saga yo pense que sólo las mujeres nos poniamos sensibles ja pero es valido para los hombre tambien, no te conteste rápido por que primero queria entender el procedimiento y preguntarte enseguida las dudas que tenia de tu respuesta. Gracias por responder rapido, explicas muy bien!!!