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final 29/07/2014 [resuelto]
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #1
final 29/07/2014 [resuelto] Finales Análisis Matemático II
se los dejo resuelto

[Imagen: final_29_07_2014.png]

T1) solo hay que usar la definicion

\[f'_{max}=||\nabla h(2,2)||\]

donde

\[\nabla h(2,2)=\nabla f(g(2,2))\nabla g(2,2)=\nabla f(2,1,3)\nabla g(2,2)\]

tenemos el gradiente de f en el enunciado entonces solo resta calcular la matriz jacobiana de g y evaluarla en el (2,2), entonces

\[\nabla h(2,2)=(3,7,1)\cdot \begin{pmatrix}2 &1 \\2 &2 \\2 & 2\end{pmatrix}=(22,19)\]

finalmente

\[f'_{max}=||\nabla h(2,2)||=13\sqrt{5}\]

T2) despejando C tenemos

\[C=\frac{1-y^2x}{y}\]

luego por derivacion implicita en la SG dada

\[y^2+2xyy'+Cy'=0\]

reemplazando C , la ED pedida es

\[y^3+xy^2y'+y'=0\]

luego como nos piden la solucion particular, al tener ya la EG de la ED,

basta reemplazar x=2 y=1 de donde \[C=-1\]

luego la SP es

\[xy^2-y=1\]

gracias , damian Feer

E1) tomo coordenadas cilindricas para calcular el volumen , entonces con ese cambio

\[r<z<8-r\]

por transitividad

\[r<8-r\to 0<r<4\]

no hay restricciones angulares , entonces

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\int_{r}^{8-r} rdzdrd\theta=\frac{128}{3}\pi\]

E2) por definicion de linea de campo , si \[f(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\] entonces la linea de campo se puede expresar como

\[\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}=\frac{-xy}{x^2}=-\frac{y}{x}\]

hay que integrar

\[\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x}\to y=\frac{K}{x}\]

la curva que pasa por los puntos pedidos es \[y=\frac{2}{x}\] , por definicion la circulacion esta dada por

\[\omega=\int fds=\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx\]

defino la funcion g como

\[g:R\to R^2/g(x)=\left ( x,\frac{2}{x} \right )\]

derivando, componiendo f con g , hay que resolver

\[\omega=\int_{1}^{2} x^2+\frac{4}{x^2}dx=\frac{13}{3}\]

E3) tomo la funcion

\[F(x,y,z)=xz+e^{yz-2}-2\]

el gradiente sera

\[\nabla F(x,y,z)=(z,ze^{yz-2},x+ye^{yz-2})\]

la normal del plano vendra dada por

\[\nabla F(1,2,1)=(1,1,3)\]

luego el plano tangente esta definido como

\[\pi: (x-1,y-2,z-1)\cdot(1,1,3)=0\to x+y+3z-6=0\]

por definicion de area de una superficie

\[A=\iint ||g'_u\times g'_v||dudv\]

si parametrizo el plano y escribo como funcion vectorial g, entonces

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=\left ( x,y,\frac{1}{3}(6-x-y) \right )\]

el producto vectorial de los elementales es

\[g'_x\times g'_y=\left ( \frac{1}{3},\frac{1}{3},1 \right )\]

la norma

\[||g'_x\times g'_y||=\frac{\sqrt{11}}{3}\]

luego

\[A=\frac{\sqrt{11}}{3}\iint dA=\frac{\sqrt{11}}{3}\pi R^2=\frac{\sqrt{11}}{3}\pi\]

E4) es igual al de la guia

hay que calcular

\[\varphi=\iint_{\Sigma}f n dA+\iint_S fndA=\iiint_V div f dV\]

de donde

\[\iint_{\Sigma}f n dA=\iiint_V div f dV-\iint_S fndA\]

si tomo coordenadas cilindricas sobre el volumen

\[0<z<4-r^2\]

de donde por transtividad

\[0<4-r^2\to 0<r<2\]

no hay restricciones angulares entonces

\[\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^2} (r\sin \theta) rdzdrd\theta=0\]

tomando normal saliente sobre S

\[n=(0,0,-1)\]

\[-2\iint_S dA=-2\pi R^2=-8\pi\]

finalmente

\[\iint_{\Sigma}f n dA=\underbrace{\iiint_V div f dV}_0-\underbrace{\iint_S fndA}_{-8\pi}=8\pi\]

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-12-2014 14:34 por Saga.)
30-07-2014 03:25
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[-] Saga recibio 8 Gracias por este post
Santi Aguito (30-07-2014), xavi82 (30-07-2014), rod77 (30-07-2014), LSolorzano (30-07-2014), tatantatan (01-08-2014), JuanPablo (01-12-2014), cmeacosta (08-12-2014), franchuvrs (10-02-2015)
Santi Aguito Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: final 29/07/2014
Grande Saga!


Off-topic:

Muy aprobable...una lástima que no lo pude dar =(

Busca la excelencia, el éxito llegará
30-07-2014 03:29
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: final 29/07/2014
Si era bastante accesible, el unico item que no me esta saliendo, debe ser por la hora es la resolucion de la ecuacion diferencial , se te ocurre algo santi aguito


Off-topic:
te falta el final de am1 o algebra? porque no lo pudiste dar este final, por lo que vine leyendo la tenes bastante clara con am2

30-07-2014 03:36
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Santi Aguito Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
Mañana lo veo, estoy re quemado ahora D:...física 1 =(


Off-topic:

No lo pude dar porque la profesora tuvo unos problemas personales, y no nos pudo firmar la libreta. Recién el jueves nos la van a firmar, y va a estar a cargo otro profesor...un bajón, lo voy a dar en septiembre!
Gracias por la observación campeón!

Busca la excelencia, el éxito llegará
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 30-07-2014 04:14 por Santi Aguito.)
30-07-2014 04:13
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ericlifs Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
Aprobeee lpm. saga creo que te debo la vida (?).

Muchas gracias, Eric!
30-07-2014 09:44
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sentey Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
Felicitaciones ericlifs!

Off-topic:
Saga, ayudándonos a aprobar AM2 desde tiempos inmemorables (?)

sentey escribió:Voy a cambiar esta firma el día que Me$$i gane un mundial
30-07-2014 10:12
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Mensaje: #7
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
Me sumo al mensaje, aprobe, mil gracias Saga!
30-07-2014 11:45
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #8
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
blush felicidades a todos los que aprobaron

30-07-2014 11:48
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drope Sin conexión
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Mensaje: #9
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
APROBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE JEJE
si era bastante accesible... pero me confundi en la ecuacion cuando integre en el e2... y el t2 no era tan facil de entender...
pero lo demas estaba bastante claro...

GRACIAS!!
30-07-2014 14:56
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Mensaje: #10
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
Yo tambien aprobe, el T2 calcule la S.P. pero no pude hallar la ecuacion diferencial, me pusieron regular ahi, tenia cagaso de tener un regular en el T1 y que me bochen por no tener uno bien de la teoria, porque tengo amigos que con Regular en los 2 teoricos los han bochado, en fin, lo tenia bien al otro teorico y aprobe=D
30-07-2014 22:23
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gus-tavo Sin conexión
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Mensaje: #11
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
Al fin aprobe el final de esta materia, despues de rendir dos veces de manera erronea el martes pude clavar un 7 !

Gran parte de este aprobado es gracias a vos Saga, sos un fenomeno, muchas gracias!
thumbup3
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-08-2014 01:27 por gus-tavo.)
01-08-2014 01:26
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RE: final 29/07/2014 [resuelto]
thumbup3;)=D

01-08-2014 02:15
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JuanPablo Sin conexión
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Mensaje: #13
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
Buenas tardes, tengo una duda con el T2.

Hago la derivada implícita que me da igual que en la resolución, pero al reemplazar el valor de C (el que dice en el resuelto, que también me da así el despeje) en la misma, me da un resultado diferente: \[y^2 + xy{y}' + {(1/y)} . {y}' = 0\]

Otra cosa, no entiendo como puede cambiar el exponente del primer \[x^2\] a \[x^3\], por ejemplo, sólo reemplazando el valor de C.
Estoy haciendo algo mal?

Por otra parte, cuando reemplazo C=-1 en la SG \[xy^2+Cy=1\] para obtener la SP, daría \[xy^2-y=1\] y no \[xy^2-x=1\] como dice el resultado del resuelto, o no?



Muchas gracias Saga por el aporte!
Juan Pablo
01-12-2014 13:48
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #14
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
(01-12-2014 13:48)JuanPablo escribió:  Buenas tardes, tengo una duda con el T2.

Hago la derivada implícita que me da igual que en la resolución, pero al reemplazar el valor de C (el que dice en el resuelto, que también me da así el despeje) en la misma, me da un resultado diferente: \[y^2 + xy{y}' + {(1/y)} . {y}' = 0\]

Es equivalente multiplica a toda la ecuacion por y , obtenes la misma ecuacion a la que llegue sin fracciones

Cita:Otra cosa, no entiendo como puede cambiar el exponente del primer \[x^2\] a \[x^3\], por ejemplo, sólo reemplazando el valor de C.
Estoy haciendo algo mal?

No se en que parte esta eso... lo podes quotear asi te digo si esta bien o mal

Cita:Por otra parte, cuando reemplazo C=-1 en la SG \[xy^2+Cy=1\] para obtener la SP, daría \[xy^2-y=1\] y no \[xy^2-x=1\] como dice el resultado del resuelto, o no?

Claramente un error de tipeo que ya arreglo ;) , es como decis vos

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-12-2014 14:40 por Saga.)
01-12-2014 14:34
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JuanPablo (01-12-2014)
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Mensaje: #15
RE: final 29/07/2014 [resuelto]
Me confundí, quise poner \[y^2\] a \[y^3\].
Claro, tenés razón, son equivalentes. No me había dado cuenta.

Muchas gracias, Saga!

Voy a continuar resolviéndo el resto del exámen =)
01-12-2014 14:40
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