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Final AM2 12/12/2011 [Resuelto]
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Aivan Sin conexión
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Mensaje: #1
Final AM2 12/12/2011 [Resuelto] Finales Análisis Matemático II
Gente, les dejo el final que tomaron hoy. Termino de comer y pongo la solución.

[Imagen: im57hi.jpg]

"En una época donde hay especialistas de cada superficie o eres un experto en polvo de ladrillo, un experto en césped, un experto en canchas duras, un experto en moqueta o eres simplemente Roger Federer" - Jimmy Connors
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 04-03-2012 02:09 por Saga.)
12-12-2011 23:59
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Mensaje: #2
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
Grande ivan... Muchas gracias
13-12-2011 00:12
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matyary Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
RESOLUCIÓN.


Ejercicio 4:



\[\bar{f}(x,y)=(g(y-x)-y^2, xy-g(y-x))\]

\[-x \leq y \leq x\]

\[x^2+y^2 \leq 2y\]


Cambio de coordenadas para trabajar más fácil:

\[x=rcost\]

\[y=rsent\]


Entonces los límites quedan así:

\[0 \leq r \leq 2sent\]

\[ -\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{4}\]


Para calcular la circulación, conviene hacerlo por el teorema de green para deshacernos de la finción \[g\]:

\[Q'_x=y\]

\[P'_y=-2y\]

\[Q'_x-P'_y=3y\]

Y la circulación queda como:

\[\int^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}} \int^{2sent}_{0} r^2sent drdt= \frac{3\pi}{2}-4\]

Verificación: Wolfram

Ahora escribo los demás, mientras vayan comentando éste (si está bien o mal, o que otros métodos usarían).
Ejercicio 2:


\[\delta (x,y,z)=kxy\]

\[0 \leq x \leq 4-z \to 0 \leq 4-z \to z\geq 4\]

\[0 \leq y \leq \sqrt{z}\]

\[0 \leq z \leq 4\]

Masa=MASA=Integral triple-Wolfram=\[\frac{16}{3}k\]

Ahora sigo subiendo, en algunos tengo dudas Confused

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]

... and it was good!

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(Este mensaje fue modificado por última vez en: 13-12-2011 00:47 por matyary.)
13-12-2011 00:15
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demodawid Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
Justo lo estaba escaneando cuando vi este thread. Este para mi era mas fácil que el otro, en el de la semana pasada me saqué un 2, en este 6 =D
13-12-2011 01:05
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Mensaje: #5
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
Ejercicio 3.


Cambio de coordenadas:

\[x=rcost\]
\[y=rsent\]


Entonces los límites quedan:

\[\sqrt{4-r^2} \leq z \leq 4-r^2\]

\[\sqrt{4-r^2}= 4-r^2 \to \frac{\sqrt{4-r^2}}{\sqrt{4-r^2}} = \frac{4-r^2}{\sqrt{4-r^2}} \to 1=\sqrt{4-r^2} \to r=\sqrt{3}\]


Y la divergencia:

\[div(\bar{f})=2rcost\]


Flujo:

\[2 \int^{2\pi}_{0} \int^{\sqrt{3}}_{0} \int^{4-r^2}_{\sqrt{4-r^2}} r^2cost dzdrdt -12\pi=\]Pirmera integral-Wolfram \[-12\pi= -12\pi\]

Falta uno, lo hago mañana porque no doy más Jaja De este sí que no estoy seguro ehh. El que me lo puedo pilotear se lo agradezco.

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]

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13-12-2011 01:45
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Mensaje: #6
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
Están perfectos los ejercicios hasta ahora.

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13-12-2011 01:49
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Mensaje: #7
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
(13-12-2011 01:49)Aivan escribió:  Están perfectos los ejercicios hasta ahora.

Muchas gracias! Mañana termino el que queda (ejercicio 1). Llegué hasta el plano que me dió \[x-y+2z=6\] pero no me sale el área. Ya no doy más sigo mañana Jaja

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]

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13-12-2011 02:02
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Mensaje: #8
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
porque en el 4 tomas tita de menos pi /4 a pi /4 ?

cuando es la recta y=x y la recta y =-x divide en pi /4 y 3pi/4
13-12-2011 04:45
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Mensaje: #9
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
Es exactamente lo mismo.

\[-\pi/4=\frac{3\pi}{4}\]

Saludos!
Ejericico 1.

\[xz+e^{z-2y}-7=0\]

Si analizo en el punto \[\bar{A}=(3,1,z_0)\]:

\[3z_0+e^{z_0-2}-7=0 \to z_0=2\]


Derivadas parciales de la superficie \Sigma que está definida implícitamente por la ecuación anterior:

\[\frac{dz}{dx}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{z}{x+e^{z-2y}} \to \frac{dz}{dx}(3,1,2)=-\frac{1}{2}\]

\[\frac{dz}{dy}(x_0,y_0,z_0)=\frac{2}{x+e^{z-2y}} \to \frac{dz}{dy}(3,1,2)=\frac{1}{2}\]


Ahora obtengo el plano tangente:

\[ \pi_0: ( \frac{dz}{dx}(3,1,2), \frac{dz}{dy}(3,1,2), -1).(x-3,y-1,z-2)=0 \]

\[\pi_0:x-y+2z=6\]


Ahora me faltaría calcular el área encerrada entre \[\pi_0\] y \[y \leq 5\] pero no me sale Confused

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13-12-2011 10:11
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Mensaje: #10
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
RESOLUCIÓN T2

Solución General: Aquella expresión que junto a sus derivadas satisface idénticamente a la ecuación diferencial. Posee tantas constantes linealmente independientes como grado tenga la ecuación diferencial. Gráficamente representa la familia de curvas de una función.

Solución Particular: Aquella solución que proviene de hallar las constantes de la solución general en un determinado punto.

Bien, nos dicen que \[y=C_{1} + C_{2}e^{-2x}\] es solución general de \[y^{''}+by^{'}+cy = 0\]. ¿Qué significa eso?. Que si yo pudiera obtener la solución de \[y^{''}+by^{'}+cy = 0\], me daría efectivamente \[y=C_{1} + C_{2}e^{-2x}\].

Refrescando un poco... Si yo tengo una ecuación de la forma \[y^{''}+y^{'}+y = 0\], lo que hago para resolverla es:

  1. Pasarla a forma de ecuación cuadrática (Si es \[y^{''}+y^{'}- 2y = 0\] la ecuación diferencial, entonces mi cuadrática será: \[r^2 + r -2 = 0\])
  2. Hallar las raíces (\[r_{1} = 1\] y \[r_{2} = -2\])
  3. Pasarla a la ecuación característica (Como son distintas las raíces, la solución general me va a quedar \[y = C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x}\], donde \[r_{1}\] y \[r_{2}\] son las raíces, claro...)


Acá me dan la solución general, por lo que implícitamente debe contener a las raíces. Veamos...

Si tenemos que \[y=C_{1} + C_{2}e^{-2x}\] y sabemos que la ecuación general tiene la forma \[y = C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x}\], la única forma de que tenga esa pinta es que sea de la siguiente forma: \[y = C_{1} e^{0x} + C_{2} e^{-2x}\], con lo cual tenemos las 2 raíces, \[r_{1} = 0\] y \[r_{2} = -2\].

Bien, tenemos que hallar b y c para poder hallar la ecuación general de \[y^{''}+by^{'}+cy = 6\]

Planteamos la ecuación cuadrática de \[y^{''}+by^{'}+cy = 0\] que sería \[r^2 + br + c = 0\]

\[\frac {-b\pm \sqrt{b^2 - 4 * 1 * c}} 2\]

\[\frac {-b\pm \sqrt{b^2 - 4c}} 2 \]

Tenemos esto, ¿que hacemos?. Bien, tenemos ya las 2 raíces, por lo que podemos hacer:

\[\frac {-b + \sqrt{b^2 - 4c}} 2\rightarrow = 0\] y \[\frac {-b - \sqrt{b^2 - 4c}} 2\rightarrow = -2\] (2 sistemas de ecuación con 2 incognitas, nada loco...)

Resolvemos un toque la primera y nos queda que \[c = 0\], reemplazamos \[c = 0\] en la otra y nos queda \[b = 2\]

Vamos a la ecuación \[y^{''}+by^{'}+cy = 6\] y reemplazamos y nos queda \[y^{''}+2y^{'}= 6\] una ecuación diferencial bastante sencilla si realizamos la reducción de orden (\[y^{'} = u\]). Nos queda:

\[u^{'}+2u = 6\]

\[\frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} x} = 6 - 2u\]

\[\frac{\mathrm{d} u }{6 - 2u} = \mathrm{d} x\]

Salteando algunos pasos:

\[u = e^{-2x} C_{1} + 3\]

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = e^{-2x} C_{1} + 3\]

Salteando algunos pasos nuevamente:

\[y = C_1 e^{-2x}+3x+C_{2}\]

Si hay algún error de cuentas avisen, ok?.

Saludos y suerte a los que rinden.








(13-12-2011 10:11)matyary escribió:  Ahora me faltaría calcular el área encerrada entre \[\pi_0\] y \[y \leq 5\] pero no me sale Confused

¿Qué no te sale?.

Si lo proyectamos sobre el \[(y,z)\] tenemos que:

\[0 \leq y \leq 5 \] (Ya que es primer octante)

\[0 \leq z \leq \frac{6+y}{2}\] (Acordate, primer octante)

Si necesitas la resolución avisa, no la pongo por que sé que podes sacarlo.

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13-12-2011 11:20
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RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
\[\int^{5}_{0} \int^{\frac{6+y}{2}}_{0} dzdy = 15+\frac{125}{6} = \frac{215}{6} \]

Así sería?

\[\sqrt{-1} \;\; 2^3 \;\; \sum \;\; \pi\]

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RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
(13-12-2011 12:16)matyary escribió:  \[\int^{5}_{0} \int^{\frac{6+y}{2}}_{0} dzdy = 15+\frac{125}{6} = \frac{215}{6} \]

Así sería?

Te faltó el diferencial de superficie creo:

\[\mathrm{d} \sum = \frac{\sqrt{\frac{\partial F}{\partial x}^2+\frac{\partial F}{\partial y}^2 + \frac{\partial F}{\partial z}^2}}{\left| \frac{\partial F}{\partial x} \right | }\]

\[\mathrm{d} \sum = \frac{\sqrt{ 1 + 1 + 4}}{\left| 1 \right | }\]




Acordate que es el área de una superficie...

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(Este mensaje fue modificado por última vez en: 13-12-2011 13:08 por Aivan.)
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Mensaje: #13
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
Ah si tenés razón. Gracias!

También podría parametrizar el plao en función de y y de z. Y hacer el módulo del producto vectorial de las derivadas parciales de la parametrización. Da lo mismo que lo que hiciste vos supuestamente. Mil gracias! Me voy a rendir a ver que sale Jaja

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13-12-2011 13:27
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Mensaje: #14
RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
Si, tiene que dar lo mismo parametrizado. Dale, mucha suerte Matyary thumbup3.

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RE: [Análisis Matemático II] [Aporte] Final 12/12/2011
El resultado final me da \[\frac{35}{2}.\sqrt{\frac{3}{2}} \simeq 21.433 \]
Gracias Aivan! Chau chau thumbup3

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