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Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
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cosmoarg Sin conexión
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Mensaje: #1
Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función Ejercicios Análisis Matemático II
Hola
Tengo que resolver este ejer y la verdad no tengo claorpor donde encararlo.
Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función\[f(x,y)=xy-1\]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 28-08-2018 11:33 por cosmoarg.)
28-08-2018 11:26
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Mensaje: #2
RE: Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
Hola

(28-08-2018 11:26)cosmoarg escribió:  Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función\[f(x,y)=xy-1\]

¿Qué intentaste? ¿Sabés lo que es una familia de curvas ortogonal? Empezá por derivar miembro a miembro la siguiente ecuación:

\[xy-1=K\quad\text{para alguna constante }K\]

y decinos hasta dónde llegaste.

Saludos.
28-08-2018 13:29
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Mensaje: #3
RE: Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
hola
gracias por tu rta.
Efectivamente fue lo que hice
si derivas ambos miembres te queda

y+xy'=0
La ED tiene la forma

y'q(x)+q(x)y=0

Si esto es correcto podria segui adelante. El punto es: Esta bien derivado. yo entiendo que deberia deberia x respecto de y , asi como tambien y respecto x, por lo que me quedaria x' en un miembre haciendo imposible que sea una EDO
Saludos

Gracias
28-08-2018 13:55
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Mensaje: #4
RE: Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
Hola

Está bien derivado. Esa es la EDO de la función, pero te piden la familia de curvas ortogonales, así que en tu primera ecuación debés reemplazar y' por -y' y resolver la nueva EDO. Acomodá convenientemente las variables para que puedas integrar correctamente.

Saludos.

EDITADO
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 28-08-2018 14:29 por manoooooh.)
28-08-2018 14:04
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Mensaje: #5
RE: Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
Gracias por tu rta
no deberia reemplazar por (-1/y') en el lugar de y'?
por lo que la nueva edo quedaria asi.

y-(x/y')=0

Es correcto?
28-08-2018 14:38
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Mensaje: #6
RE: Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
Hola

(28-08-2018 14:38)cosmoarg escribió:  ¿no debería reemplazar por (-1/y') en el lugar de y'?
por lo que la nueva edo quedaría así.

y-(x/y')=0

¿Es correcto?

Sí, está bien. Quizás no viste mi edit posterior porque había escrito y en vez de y'. Ahora debés resolver esta nueva EDO.

Saludos.
28-08-2018 14:41
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Mensaje: #7
RE: Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
Buenisimo
\[y+x\div y'=0\]
y=-x/y'
\[\int(y.y dx)=-\int (xdx)\]
\[\int (ydy) = -\int (xdx)\]
\[y^{2}/2=(x^{2}/2)+K\]

Lo genero en latex. Segun recuerdo de am1 : ydx = dy.
El resultado obtenido es la familia de curvas buscada?
Saludos
Gracias
28-08-2018 15:57
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Mensaje: #8
RE: Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
Hola

(28-08-2018 15:57)cosmoarg escribió:  \[y^{2}/2=(x^{2}/2)+K\]

Está bien en la medida que utilices una constante distinta para cada expresión, ya que no necesariamente son las mismas. Podés simplificarla si multiplicás por 2 y cambiás el nombre a la constante, algo como

\[y^2-x^2=k,\quad k\in\mathbb R\text.\]

Para ver que tu respuesta es correcta podés graficar algunas de las funciones y comprobar que en donde se intersectan forman un ángulo recto (con k = K = 1, k = K = 0, etc.).

Saludos.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 28-08-2018 16:10 por manoooooh.)
28-08-2018 16:08
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Mensaje: #9
RE: Halla la familia de curvas ortogonales a las líneas de nivel de la función
Muchisimas Gracias por tu ayuda.
Saludos
28-08-2018 17:30
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