Te dejo aca el ejercicio maik

Sea \[z_0>0\] hallar el área de la porcion de superficie \[S1 \subset{R^3}\] delimitada por las superfices S2 y S3, siendo respectivamente

\[S1: X\in R^3/ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}\]

\[S2: X\in R^3 / z=0\]

\[S3: X\in R^3/z=\dfrac{z_0}{2}\]

por definicion

\[A=\displaystyle\iint ||g'_u\times g'_v||dudv\]

una parametrización de S1 de forma vectorial seria la siguiente

\[g:R^2\longrightarrow{R^3}/g(z,t)=\left(a\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\cos t,b\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\sin t,\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\right)\]

los limites van en funcion de esa parametrizacion, por ende

\[0\leq \left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\leq \dfrac{z_0}{2}\]

tomo el cambio

\[\\r=\left(\dfrac{z-z_0}{c}\right)\\ t=\theta\]

de donde

\[\left|\dfrac{\partial (r,\theta) }{\partial(z,t)}\right|^{-1}=c\]

ademas que

\[g:R^2\rightarrow{R^3}/g(r,\theta)=(ar\cos\theta,br\sin\theta,r)\quad 0\leq r\leq \dfrac{z_0}{2}\]

hechas las cuentas

\[g'_r\times g'_{\theta}=(br\cos\theta,-ar\sin\theta,abr)\]

\[||g'_r\times g'_{\theta}||=\sqrt{b^2 r^2\cos^2\theta+a^2r^2\sin^2\theta+a^2r^2b^2}\]

finalmente

\[A=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{z_0}{2}}c\cdot r\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta+a^2b^2} drd\theta\]

integral que no puede ser resuelta con funciones elementales... podes observar que si a=b entonces es posible resolver la integral ...

Mas no se puede hacer , a no ser que sepas como resolver integrales elipticas... el ejercicio queda ahi

al final es muy facil, pero tiene demasiada teoria adentro xD

y me gusto el detalle del jacobiano de cambio de variable.

sep la verdad que si... igual ahora ya sabemos ese detalle del jacobiano