EStimados,

Tengo una duda con este ejer. que pide obtener el Haz de curvas de ortogonal a la familia de curvas:
\[Ky^2=e^x \\2kyy'=e^x \\y'=-1/y'\\-2ky(1/y')=e^x\\-2kint(e^-x)=int(dy/y)\\2ke^-x=ln y\\\]
Y ahi me quedo ya que si aplico e en ambos lados me queda e^(e^-x). Me podrian decir donde me estoy equivocando??
Gracias

Hola

(03-04-2019 14:56)cosmoarg escribió:  Tengo una duda con este ejer. que pide obtener el Haz de curvas de ortogonal a la familia de curvas: \[Ky^2=e^x\]

Para estos casos es recomendable que sigas los siguientes pasos para hallar el haz de curvas ortogonal de una familia de curvas dada:

1. Derivamos implícitamente miembro a miembro para obtener la ecuación diferencial de la familia de curvas original.
2. Si sigue apareciendo la constante de la familia debemos despejarla de la ecuación original y reemplazarla en la nueva ecuación.
3. Se reemplaza \(y'\) por \(-1/y'\) para obtener la ecuación diferencial ortogonal.
4. La ecuación se reduce lo máximo posible y se despeja la variable independiente de la dependiente.
5. Se integra cada miembro y se obtiene implícita o explícitamente la solución.
   

Con esto en mente:

(03-04-2019 14:56)cosmoarg escribió:  \[Ky^2=e^x\]\[2kyy'=e^x\] (...)

Y ahora como \(ky^2=e^x\) entonces \(k=e^x/y^2\), entonces: \[2\frac{e^x}{y^2}yy'=e^x\implies-2\frac{e^x}{y^2}y\frac{1}{y'}=e^x\implies-\frac{2}{y'}=y\implies-2=yy',\] si integramos miembro a miembro: \[\frac{y^2}{2}=-2x+c\implies\boxed{y^2=-4x+C},\] donde \(C=2c\). Este es el haz de curvas de ortogonal a la familia de curvas dada.

Podés comprobar mediante un gráfico que los puntos de corte de ambas curvas forman un ángulo de \(90^\circ\), porque son ortogonales.

Saludos.