Buenas gente.

Intentando resolver unos ejercicios de Discreta me surgieron dudas específicamente en los siguientes dos puntos que voy a poner, si alguien los puede resolver y explicarme paso por paso cómo es la onda se lo agradecería.

1) \[\sum_{i=n}^(2n) i = {3n(n+1) \over 2}\]

No sé por qué en el Tex salta así. Pero la sumatoria va desde i = n hasta 2n.

2) \[a + (a+d) + (a + 2.d) + ... + (a + n.d) = {(n+1)(2.a + n.d) \over 2}\]; n, a, d son numeros naturales, d es fijo.

En el primer ejercicio, por hipótesis inductiva reemplazo n por h. Como para comprobar que con la fórmula se puede expresar la sumatoria para todos los valores que tome n, busco verificar que el siguiente de n sea positivo.
O sea, por tesis inductiva, n = h+1 y mediante la demostración debería quedar \[{3(n+1)(n+2) \over 2}\]. Ahora, reemplazo también en la sumatoria, es decir, que la sumatoria comienze en "n +1" y termine en "2*(n+1)", o sea, "2n + 2".

Entonces, para demostrar la tesis, parto de la hipótesis inductiva y le sumé 2n + 1 y 2n + 2.

\[{3h(h+1) \over 2} + (2n+1) + (2n+2)\]

En principio pensé que mi razonamiento estaba muy mal, así que intenté justificarlo simplemente sumándole a la hipótesis inductiva "(2n+2)", pero no consigo demostrarlo.

Del ejercicio 2 ni siquiera sé como partir, no encuentro valores para comenzar por la base inductiva.

Si me pueden ayudar se los agradecería mucho!.

Hola, tenés que analizar bien el primer ejercicio, fijate que para n=1 \[\sum_{i=1}^2{1+2}=3=3\frac{2}{2}\]
Hipotesis
para n=h
\[\sum_{i=h}^{2h}{h+h+1+h+2......+h+2h}=\frac{3h(h+1)}{2}\]
n=h+1
\[\sum_{i=h+1}^{2h+2}{h+1+h+2+......+h+2h+2h+1+2h}=\frac{3(h+1)(h+2)}{2}\]( acá me tira error el latex falta la ultima constante en el primer miembro que es 2)
demo
\[\sum_{i=h+1}^{2h+2}{\underbrace{h+1+h+2...h+2h}_{\frac{3h(h+1)}{2}}+2h+1+2h+2=\frac{3(h+1)(h+2)}{2}\]
de donde
\[\frac{3h(h+1)}{2}+(2h+1)+(2h+2)-h=......\]
Para el otro, considera que
\[(a+nd)=\sum_{i=0}^{r}{(a+rd)}=((n+1)(2a+nd))/2}\]


saludos

NathanDrake escribió:Buenas gente.]
2) \[a + (a+d) + (a + 2.d) + ... + (a + n.d) = {(n+1)(2.a + n.d) \over 2}\]; n, a, d son numeros naturales, d es fijo.
Si me pueden ayudar se los agradecería mucho!.

En esta parte me parece que hay un error si n es natural no se cumplen las condiciones necesarias, solo se cumple si n pertenece a los N incluidos el 0, y si no se cumple para uno, no es necesario hacer inducción
saludos

Muchas gracias aoleonsr, parece que lo había pensado correctamente.

Lo que no entiendo es de dónde sale el "- h" en la demostración. Si bien lo verifica, al ser una sumatoria no puede haber un valor restando (no sé si se entiende ;) ).

EDITADO

Me dí cuenta que el ejercicio 2 está mal enunciado en la guía, porque n pertenece al conjunto de los naturales + 0 ya que sino no no se podría partir de "a" en la sumatoria y se empezaría con "a + d". ¿Es correcto lo que digo, no?

NathanDrake escribió:Lo que no entiendo es de dónde sale el "- h" en la demostración.

hola, fijate que te puse el desarrollo cuando n=h, inclusive puse una llave indicando hasta donde es la hipotesis , fijate donde empieza y donde termina la suma, empieza en h+(h+1)+(h+2).....h+2h=f(h) ,( pongo f(h) a lo del segundo miembro para acortar notacion)
cuando n=h+1 aca tambien la suma empieza en
(h+1)+(h+2)+.....+h+2h+(h+1)+(2h+2)=f(h+1)

NathanDrake escribió:\[{3h(h+1) \over 2} + (2n+1) + (2n+2)\]

Tu razonamiento es correcto pero te olvidaste que f(h)-h=(h+1)+(h+2)+...+h+2h de donde te queda
f(h)-h+(2h+1)+(2h+2). no se si te das cuenta .

NathanDrake escribió:Me dí cuenta que el ejercicio 2 está mal enunciado en la guía, porque n pertenece al conjunto de los naturales + 0 ya que sino no no se podría partir de "a" en la sumatoria y se empezaría con "a + d". ¿Es correcto lo que digo, no?

Correcto, si n estaría en N sin el 0 nos ahorramos de hacer la inducción

NathanDrake escribió:al ser una sumatoria no puede haber un valor restando (no sé si se entiende ).

Aca no estoy de acuerdo, nada me impide que la suma sea
(-1)+(-2)+(-3)+......
saludos

Aoleonsr, sos groso.

Me di cuenta hoy mientras reeleía la solución del ejercicio que habías propuesto y se resolvieron mis dudas. En mi caso pienso que se resta un h por el hecho de que en la tesis inductiva partimos de (h+1) hasta (2h+2) y, en la demostración, al reemplazar la hipótesis inductiva por la sumatoria dada, partimos de (h+1) hasta (2h) y al no estar incluido el h en la "nueva" sumatoria debemos restársela.

¿Ando bien o estoy tirando fruta y ya me tengo que resignar? XD

Hola, se resta el h porque sino seria falso afirmar que se cumple la sumatoria ( en este ejercicio en particular )
fijate que si n=5 entonces tu suma, en el ejercicio sería 5 a 2(5)= 5 hasta 10 entonces 5+6+......+10 aca presta atención el 10 sería el termino 2n, me seguis
ahora bien si n=6 entonces tu suma seria de 6 hasta 2(6) o sea 6+7+8+9+10+11+12, si 10 es el termino 2n para llegar a 12 necesito (2n+1)+(2n+2) si n es 6 entonces estos dos últimos términos serían 13 y 14 salgo del rango de la sumatoria entonces por eso tengo que restar n. no se si fui claro.
Siempre que tengas una sumatoria que no este definida, como en este caso , prestá atención en la hipotesis y antes de demostrar toma en cuenta los valores iniciales y finales.
Saludos

Ah... otra cosa tu razonamiento es valido

NathanDrake escribió:En mi caso pienso que se resta un h por el hecho de que en la tesis inductiva partimos de (h+1) hasta (2h+2) y, en la demostración, al reemplazar la hipótesis inductiva por la sumatoria dada, partimos de (h+1) hasta (2h) y al no estar incluido el h en la "nueva" sumatoria debemos restársela.

¿Ando bien o estoy tirando fruta y ya me tengo que resignar? XD

Vale para este ejercicio en particular, por ahi tenias que restar 2h. El número de h a restar dependera de como viene planteada la sumatoria
saludos

¡Hola Gente!
¿Puedo preguntar algo de este ejercicio? Posta que no entendí nada =P
Asumiendo que puedo, pregunto. En la guía, al menos en la que bajé de acá, que es del 2014, dice que la sumatoria va desde i = 1, no desde i = n. Con lo que a mí se me van al carajo los valores, pero entiendo que si fuera desde i = n, dan bien.-
Eso por un lado. Por el otro, no entiendo la sumatoria, por quyé dicen (2n+1) + (2n+2)... =P ¿Cómo sería la sumatoria en este caso?
Partiendo de 1 o de n, no importa, digo ¿Hasta dónde llega? Si llega hasta 2n, y se suma i cada vez, ¿Por qué en la demostración no se suma, sencillamente, 2(h+1) como último término ¿?

Supongamos que n = 3, y que la guía está mal y que se parte de i = n (en este caso, i = 3). Tendríamos 3 + 4 + 5 + 6 = 18 (y eso es igual al reemplazar en la fórmula). Según entiendo, el anterior a 2 (h+1) es 2(h) ...

Perdón, si embrollo, pero así lo tengo en la mente. Y venía CASI bien, hasta acá, y me arruinó el sábado a la tarde, encima que no hace tanto frío =D

¡Muchas Gracias! =D