Hola gente como va?

Bueno estoy aca sin poder hacer un ejercicio de la guia de Integrales Multiples de AM2 (1.f) que me pide calcular por integrales dobles el area de D, siendo D un conjunto donde son positivas las componentes de f(x).

\[f(x)=(4-x^{2}-y^{2},2-x-y^{2})\]

Lo que hice primero fue calcular dichos dominios positivos y graficar ambas funciones. Me quedo lo siguiente:

\[y^{2}\leq -x^{2}+4\] (f1)

\[y^{2}\leq -x+2\] (f2)



Ahora, lo que puedo destacar rápidamente de esa imagen es que x ira de -2 a 2 y que podre resolver la integral del área por partes (es decir hago la integral del área de la función en -2 <= x <= 0 y a ésta le sumo el área de la función en 0 <= x <= 2).

Pero (como siempre) se me esta complicando para hallar los limites que tomara y. Yo se que los limites de y tendrá esta forma:

\[g(x) \leq y\leq \sqrt{-x+2}\] (A)

, pues el techo del área esta delimitado por el trozo superior de parábola. Ahora no estoy seguro de que valor tomara g(x). Yo Pensaba que era \[\sqrt{-x^{2}+4}\], pero no tendría sentid, ya que ademas lo que dije en (A) no tendria sentido pues:

\[\sqrt{-x^{2}+4}\] > \[\sqrt{-x+2}\]

Como lo deberia hacer? Muchas gracias y un saludo!

Edito: Creo que ya se que me falto tener en cuenta:

\[\left | y \right |\leq \sqrt{-x^{2}+4}\]

\[\left | y \right |\leq \sqrt{-x+2}\]

Si para la derecha del eje y es \[\sqrt{-x^{2}+4}\] y para la izquierda \[\sqrt{-x+2}\] entonces mi limite es:

\[\sqrt{-x+2}\leq y\leq \sqrt{-x^{2}+4}\]

¿Esta bien dicho eso?

Eso es todo, saludos!

intentaste hacer x desde -2 a 2 e y desde f1 a f2 ?

Tenes dos caminos.
la primera es viendo la función ----> : Si la haces así 0<y< (acá va el punto intersección en y de ambas funciones.
Y la x varía entre la circunferencia y la parábola.

Si tiras un vector "al norte" es la segunda forma de integración: tenes que separar a la integral doble en dos partes porque cambia el techo:

La primera 0<y< (acá va la de la circ) y la segunda doble integral 0<y<parabola.. para la x buscas el punto intersección.. entre -2<x<punto intersección y la otra: (punto intersección)<x<2

Saludos.

Lo acabe de hacer recien pero no me da . Alguna idea?

---

(06-07-2013 20:27)Feer escribió:  Tenes dos caminos.
la primera es viendo la función ----> : Si la haces así 0<y< (acá va el punto intersección en y de ambas funciones.
Y la x varía entre la circunferencia y la parábola.

Si tiras un vector "al norte" es la segunda forma de integración: tenes que separar a la integral doble en dos partes porque cambia el techo:

La primera 0<y< (acá va la de la circ) y la segunda doble integral 0<y<parabola.. para la x buscas el punto intersección.. entre -2<x<punto intersección y la otra: (punto intersección)<x<2

Saludos.

No te entendi feer. Osea, creo que te entendi mal (porque hice lo que entendi que me dijiste pero me dio mal). A ver:

x sin duda va entre -2 y 2 (el dibujo lo muestra). Y por lo que te entendi, vos decis que los limites de y seria:

\[\sqrt{-x+2}\leq y\leq \sqrt{-x^{2}+4}\] ??

Lo que pasa que estas pensandolo mal.
Te acordas en AMI cuando cambiaba tu función de "techo" o de "piso"?
Acá es lo mismo fijate que tu piso es y=0 pero tu techo primero es la circunferencia y después es tu parábola.

Pero feer, guiandome por el dibujo (que no esta mal) el techo es siempre la parabola. Osea de lado de las x negativas, en un momento el techo pasa a ser la circunferencia, pero no es en todo momento. No recuerdo haber visto eso en AMI (cambio de techo). O tal vez lo dio pero no me lo acuerdo .

Si lo haces con respecto a x tenes que la integral se divide en dos entonces

\[A=\int_{-2}^{-1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dydx+\int_{-1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2-x}}dydx=4.69247\]

si das vuelta los limites de integracion, o sea con respecto a y, tenes

\[A=\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y^2}dxdy=4.69247\]

(06-07-2013 20:49)Saga escribió:  Si lo haces con respecto a x tenes que la integral se divide en dos entonces

\[A=\int_{-2}^{1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dydx+\int_{-1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2-x}}dydx=4.69247\]

si das vuelta los limites de integracion tenes

\[A=\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2-y^2}dxdy=4.69247\]

Por que a x lo haces entre 1 y -2? La respuesta es 9,38 (que por alguna razon es la suma de las 2 areas que calculaste). Que fue lo que hiciste?

Es lo que te intento explicar lo que hizo...
Cambia la función...

   

(06-07-2013 20:53)Gonsha escribió:  Por que a x lo haces entre 1 y -2?

Error de tipeo que corregi ya

Cita:La respuesta es 9,38 (que por alguna razon es la suma de las 2 areas que calculaste). Que fue lo que hiciste?

mi respuesta es correcta y corresponde al dibujo que vos hiciste.... ahora que lo reviso bien, el dibujo esta mal ..... la inteserccion de las condiciones del enunciado no es el area que sombreas vos... pensalo un poco.......haciendo bien el dibujo a la respuesta que di...como la region es simetrica, basta con multiplicar por dos a cada una de las integrales que propuse

---

Fir el dibujo esta mal..... no corresponde a las condiciones del enunciado.... en ningun momento se explicita que acotes la region al primer y segundo cuadrante...

Bueno yo lo hice en base a su dibujo que me dijo que estaba bien xd, no me puse a resolver jaja.
Pero lo importante es el cambio de función y en la imágen se ve.

si tambien hice lo mismo.... aplique los calculos en base a su dibujo sin revisar las condiciones iniciales

(06-07-2013 21:00)Saga escribió:  

(06-07-2013 20:53)Gonsha escribió:  Por que a x lo haces entre 1 y -2?

Error de tipeo que corregi ya

Cita:La respuesta es 9,38 (que por alguna razon es la suma de las 2 areas que calculaste). Que fue lo que hiciste?

mi respuesta es correcta y corresponde al dibujo que vos hiciste.... ahora que lo reviso bien, el dibujo esta mal ..... la inteserccion de las condiciones del enunciado no es el area que sombreas vos... pensalo un poco.......haciendo bien el dibujo a la respuesta que di...como la region es simetrica, basta con multiplicar por dos a cada una de las integrales que propuse

---

Fir el dibujo esta mal..... no corresponde a las condiciones del enunciado.... en ningun momento se explicita que acotes la region al primer y segundo cuadrante...

Uuhh bue me confundi yo entonces. Voy a ver si lo puedo resolver asi. Gracias!

p.d: No es raiz de 2 saga (en vez de raiz de 3) ?

(06-07-2013 21:08)Gonsha escribió:  p.d: No es raiz de 2 saga (en vez de raiz de 3) ?

nop.... si haces la integral con respecto a y tenes que resolver

\[2-y^2=\sqrt{4-y^2}\]

si fuese raiz de dos, no se cumple la igualdad