Buenas!! Cómo andan?

Tengo una duda.
Cuando me piden "Halle el grupo cociente", tengo que hallar por un lado G/H, hasta ahí estamos (asumiendo que es normal y toda la bola).

La consulta es el paso 2, cuando tengo que mostrar la operación, tengo que hacer producto de clases. No tengo la más pálida idea de cómo se hace. Les dejo un ejemplo para que trabajemos con un ejemplo concreto.

GRUPO
   

Siendo H={1,17} se pide hallar el grupo cociente.

Entonces empiezo con:

CL1={1,17}
CL5={5,13}
CL7={7,11}

Luego G/H={ CL1, CL5, CL7 }

Finalmente debería que definir mi operación, para terminar con el grupo:
. CL1 CL5 CL7
CL1
CL5
CL7

El problema es que no sé cómo resolver el producto de clases. ¿Alguien me ayuda? Si quieren nos basamos en este ejemplo o si quieren nos basamos en otro.

Habría que ver el enunciado para saber qué pide exactamente. Asumiendo que ya probaste que el subgrupo es normal, no hay nada más que hacer. Me explico mejor.



Forma cheta:
Tenés un grupo G de orden 6 y un subgrupo H de orden 2. El cociente, que está definido por ser H un subgrupo normal de G, va a tener |G| / |H| = 6/2 = 3 elementos*. Salvo isomorfismo, existe un único grupo de orden 3 y por lo tanto ese grupo es el cociente. Podés decir, por ejemplo, que G/H es isomorfo a Z_3. Eso caracteriza el grupo cociente, ya se sabe exactamente quién es.

*Fijate que eso es lo que te quedó, encontraste tres clases en el cociente.



A mano:
Fijate que la idea de pedir H normal es poder definir bien las operaciones entre clases**. Si querés hacer la operación entre dos clases del cociente te agarrás un elemento de cada clase, hacés la operación entre ellos y volvés a tomar clase. Que esto funciona siempre sin importar qué elementos te elijas sale de pedir que H sea normal. En este ejemplo tendrías:

CL1={1,17}
CL5={5,13}
CL7={7,11}

Ponele que querés saber cuanto da CL7 * CL5. Agarrá un tipo de CL7 y otro de CL5. Hacé el producto entre ellos y tomá clase. Lo hago de varias formas para que veas que el resultado no depende de los elementos elegidos.

Agarro el 11 de CL7, el 13 de CL5 y hago 11*13 = 17. El 17 está en CL1. Entonces tengo que CL7 * CL5 = CL1.
Agarro el 7 de CL7, el 13 de CL5 y hago 7*13 = 1. El 1 está en CL1. Entonces tengo que CL7 * CL5 = CL1.
Agarro el 7 de CL7, el 5 de CL5 y hago 7*5 = 17. El 17 está en CL1. Entonces tengo que CL7 * CL5 = CL1.
Agarro el 11 de CL7, el 5 de CL5 y hago 11*5 = 1. El 1 está en CL1. Entonces tengo que CL7 * CL5 = CL1.

Con cualquiera de las opciones ya estás probando que CL7 * CL5 = CL1. Tendrías que hacer lo mismo con todas las clases que necesites para completar la tabla. Te va a quedar una tabla como la de Z_3 pero con los nombres cambiados.

**Si H no es normal igual podés definir coclases. Esto lo hacés por ejemplo para demostrar el teorema de Lagrange, fijate que ahí no pedís que el subgrupo sea normal.

Gracias por tu respuesta!

Es lo entiendo perfecto y estamos de acuerdo.

Mi consulta va por otro lado Mi consulta es: ¿Cómo resuelvo el producto de clases? ¿Cómo armo la matríz de la operación del grupo cociente? ¿Me explico?

De nuevo, gracias por responder.

Eso es exactamente lo que escribí en el post anterior.

(28-01-2016 15:29)Pipicito escribió:  Ponele que querés saber cuanto da CL7 * CL5. Agarrá un tipo de CL7 y otro de CL5. Hacé el producto entre ellos y tomá clase. Lo hago de varias formas para que veas que el resultado no depende de los elementos elegidos.

Agarro el 11 de CL7, el 13 de CL5 y hago 11*13 = 17. El 17 está en CL1. Entonces tengo que CL7 * CL5 = CL1.
Agarro el 7 de CL7, el 13 de CL5 y hago 7*13 = 1. El 1 está en CL1. Entonces tengo que CL7 * CL5 = CL1.
Agarro el 7 de CL7, el 5 de CL5 y hago 7*5 = 17. El 17 está en CL1. Entonces tengo que CL7 * CL5 = CL1.
Agarro el 11 de CL7, el 5 de CL5 y hago 11*5 = 1. El 1 está en CL1. Entonces tengo que CL7 * CL5 = CL1.

Con cualquiera de las opciones ya estás probando que CL7 * CL5 = CL1. Tendrías que hacer lo mismo con todas las clases que necesites para completar la tabla. Te va a quedar una tabla como la de Z_3 pero con los nombres cambiados.

Eso es hacer el producto de clases. Y además te dije cómo hacer para armar la tabla y como qué tabla te va a quedar.

Ahora entendí, releí y entendí. Está súper claro!!

Gracias viejo!!