Hola chicos! como andan? necesito saber como se resuelve este polinomio

Una de las raices del polinomio \[P (m)= m^{3}-3hm+1 \] es racional y positiva
a)se pide calcular H
b)para el valor de h hallado en el punto a, obtenga las restantes raices de P(m)

Muchas gracias

Para esto, usas el teorema de Gauss:

Si p(x) es un polinomio de grado n>=1, con coeficientes enteros, término independiente no nulo y admite al menos una raiz racional "a/b" con a y b enteros coprimos (es decir, cuando solo tienen común divisor el -1 y el 1), entonces "a" es divisor del término independiente y "b" es divisor del coeficiente principal.

Para este caso tenes como coeficiente principal "1" (acompañando a la m de mayor potencia) y como término independiente también "1", así que podemos usar el teorema:

1/a, entonces a sólo puede ser 1 ó -1. Para el caso del divisor del coeficiente principal: 1/b, entonces también puede ser b 1 o -1. Luego a/b=-1 ó a/b=1. Pero dado que es positiva (y racional, dado que 1 está incluido en el conjunto de los racionales), entonces la raiz que buscamos es m=1.

Operando con m=1, p(1)=0, entonces

0=1-3h.1+1

h=2/3

A partir de ahí podes calcular las otras dos raíces.

_________________________________________________

Cualquier duda, consulte! saludos!

(03-11-2014 16:37)Wasol escribió:  Para esto, usas el teorema de Gauss:

Si p(x) es un polinomio de grado n>=1, con coeficientes enteros, término independiente no nulo y admite al menos una raiz racional "a/b" con a y b enteros coprimos (es decir, cuando solo tienen común divisor el -1 y el 1), entonces "a" es divisor del término independiente y "b" es divisor del coeficiente principal.

Para este caso tenes como coeficiente principal "1" (acompañando a la m de mayor potencia) y como término independiente también "1", así que podemos usar el teorema:

1/a, entonces a sólo puede ser 1 ó -1. Para el caso del divisor del coeficiente principal: 1/b, entonces también puede ser b 1 o -1. Luego a/b=-1 ó a/b=1. Pero dado que es positiva (y racional, dado que 1 está incluido en el conjunto de los racionales), entonces la raiz que buscamos es m=1.

Operando con m=1, p(1)=0, entonces

0=1-3h.1+1

h=2/3

A partir de ahí podes calcular las otras dos raíces.

_________________________________________________

Cualquier duda, consulte! saludos!

Yo lo razone de otra manera y llegue le mismo resultado.
El ejercicio te dice que una raiz es positiva y racional. El polinomio es de 3er grado, por lo que admite 3 raices, de las cuales una es racional y positiva. Las otras pueden ser colores, pero una es racional y positiva. Con esto y teniendo 2 incognitas y un polinomio, propongo una raiz igual a 1: es racional y positiva. Quizas diras que es medio tirado de los pelos, pero muchos problemas de la carrera arrancan proponiendo cosas y verificar los resultados si son acorde a lo que propusiste.
Con la raiz m1=1 podes seguir con Ruffini.

| 1 0 -3h 1
| |
1 | v 1 1 -3h+1
----------------------------------------
1 1 -3h+1 -3h+2


Para que 1 sea raiz:

-3h+2=0 => h=2/3


Con ese valor, la ecuacion de segundo grado te quedaria asi:

x^2+x-1=0

Las raices son:

x2=-1/2+raiz(5)/2
x3=-1/2-raiz(5)/2

Está bien, propones esa raiz. ¿probaste proponer otras raíces? digo, dado que es un polinomio, y éste es una combinación lineal de ciertas bases de un subespacio vectorial, y dependiendo de la combinación, podes obtener distintas raices en virtud de los parámetros que utilices.

Yo apliqué el teorema de Gauss para justificar el uso del 1 como raiz. De otro modo, si usas el 2 (en lugar del 1, y que también es racional y positivo), entonces vas a tener un h distinto; lo cual está bien. Pero es como sacar un conejo de la galera

Lo hice igual que PabloMUTN y llegue a lo mismo, soy feliz(?

Para esto, usas el teorema de Gauss:

Si p(x) es un polinomio de grado n>=1, con coeficientes enteros, término independiente no nulo y admite al menos una raiz racional "a/b" con a y b enteros coprimos (es decir, cuando solo tienen común divisor el -1 y el 1), entonces "a" es divisor del término independiente y "b" es divisor del coeficiente principal.

Para este caso tenes como coeficiente principal "1" (acompañando a la m de mayor potencia) y como término independiente también "1", así que podemos usar el teorema:

1/a, entonces a sólo puede ser 1 ó -1. Para el caso del divisor del coeficiente principal: 1/b, entonces también puede ser b 1 o -1. Luego a/b=-1 ó a/b=1. Pero dado que es positiva (y racional, dado que 1 está incluido en el conjunto de los racionales), entonces la raiz que buscamos es m=1.

Operando con m=1, p(1)=0, entonces

0=1-3h.1+1

h=2/3

A partir de ahí podes calcular las otras dos raíces.