Tengo duda de este ejercicio:
Encuentre y clasifique los puntos críticos de la siguiente función:

\[f(x,y)=\frac{x}{y}+\frac{8}{x}-y\]

Bueno, bueno... entonces obtengo las derivadas parciales y me queda el siguiente sistema de ecuaciones de donde tengo que sacar los puntos críticos:
\[\frac{1}{y^2}-\frac{8}{x^2}=0 \]
\[\frac{-x}{y^2}-1=0\]

Cómo ca...lo trabajo?

La primer derivada parcial en x te confundiste el primer termino es 1/y no 1/y^2, siguiendo como estabas haciendo vos tenes que hacer los despejes que bueno en este ejercicio es medio choto:

De la primera podes llegar a que y=x^2/8 y eso lo metes en la segunda que despejada queda -x=y^2

Bueno de ahí llegas a que el punto puede ser (0,0) que no se puede porque no pertenece al dominio y el otro punto que tenes que analizar es (-4,2) avisa si no llegás

Gracias Mati. xD
Resalto que hubo error de tipeo en la derivada parcial.
Mi resultado da que f tiene un máximo en (-4,2) según el criterio de la segunda derivada.