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[Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
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Adolfito Sin conexión
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Mensaje: #1
[Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series Ejercicios Matemática Discreta
Bueno como lo dice el título estaba practicando ese tema, y me encontré con este ejercicio:

Dar la solución general y la solución particular para las condiciones iniciales dadas, luego probar por inducción los resultados:

\[a_{n}=4a_{n-1}-4a_{n-2} ; a_{0}=2 ; a_{1}=0\]

Acá va mi solución, me quede trabado en la parte de inducción:
1)
\[k_{1}=4\]
\[k_{2}=-4\]

\[x^{2}-4x+4=0\]
x=2

\[a_{n}=\alpha _{1}2^{n}+\alpha _{2}n2^{n}\] <-- Solución General

2)
n=0 -->datos
\[a_{0}=2\]

\[a_{0}=\alpha _{1}\]
\[\alpha _{1}=2\]

n=1 -->datos
\[a _{1}=0\]

\[a_{1}=2\alpha_{1}+2\alpha _{2}\]
\[2\alpha_{1}+2\alpha _{2}=0\]
\[\alpha _{2}=-2\]

\[a_{n}=2*2^{n}-2*2n^{n}\] --> Solución Particular

3)1º) n=1

\[a_{1}=0\therefore V\]

n=0
\[a_{0}=2\therefore V\]
2º)HI)n=h

\[a_{h}=2*2^{h}-2*h*2^{h}=2^{h+1}-2^{h+1}*h\]

\[a_{h-1}= 2*2^{h-1}-2(h-1)*2^{h-1}=2^{h}-2^{h}(h-1)\]

3º)TI)n=h+1

\[a_{h+1}=2*2^{(h+1)}-2*(h+1)*2^{h+1}=2^{h+2}-2^{h+2}(h+1)=2^{h+2}-2^{h+2}*h-2^{h+2}\]

\[P)a_{h+1}=4a_{h}-4a_{h-1}=4(2^{h+1}-2^{h+1}*h)-4[2^{h}-2^{h}(h-1)]=\]
\[2^{2}(2^{h+1}-2^{h+1}*h)-2^{2}[2^{h}-2^{h}(h-1)]=\]
\[2*2^{h+2}-2*2^{h+2}*h-2^{2}(2^{h}-2^{h}*h-2^{h})=\]
\[2*2^{h+2}-2*2^{h+2}*h-2^{h+2}+2^{h+2}*h-2^{h+2}=\]
\[2^{h+2}-2^{h+2}*h-2^{h+2} \therefore V\]

PD: Gracias por sus respuestas, actualice el post para que le sirva a cualquiera que tenga la misma duda que yo. Cualquier duda pregunten =D
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 11-02-2013 14:27 por Adolfito.)
07-02-2013 16:10
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agusbrand Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
Fijate que la ecuacion es la que tiene raices iguales porque da da r1=r2=2 y despues te queda k2=-2 k1=2
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 07-02-2013 16:25 por agusbrand.)
07-02-2013 16:23
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Adolfito Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: [Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
No entendi, me podes volver a explicar? =P
07-02-2013 18:07
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agusbrand Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: [Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
Si , viste que hay 2 tipos de ecuaciones, una para las que tienen raices distintas y otra para las que tienen raices iguales, el polinomio característico ahi es 0=-x^2+4x-4 las raiz es 2 (raiz doble)
La forma del a sub n (an) deberia ser: an=k1.r1^n + k2.n.r1^n
reemplazas r1=r2=2 ahí y te queda an=k1.2^n + k2.n.2^n
esa seria la ec. general, la particular la sacas usando los datos que te dieron, eso lo sabes no?
07-02-2013 19:16
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[-] agusbrand recibio 1 Gracias por este post
Adolfito (11-02-2013)
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Mensaje: #5
RE: [Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
Si ahora entendí, no me acordaba bien como hacer lo del polinomio característico pero ya me acorde =P . Ahí actualize todo el post, tenes alguna idea de como terminar lo de inducción o de si esta bien lo que puse hasta ahora?
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 08-02-2013 13:52 por Adolfito.)
08-02-2013 12:43
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Winex27 Sin conexión
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Mensaje: #6
RE: [Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
Buenas... ya que los examenes estan cerca seria wenisimo si pudieramos terminar este tema.
Bien ... mi duda puntual esta en la expresion:

\[a_{h+1}= 4a_{(h+1)-1} -4a_{(h+1)-2}\]

seria lo mismo:

\[a_{h+1}= 4a_{h} -4a_{h-1}\]

¿¿¿ De donde sacaste los coeficientes 4 y -4 ???

Si te bajas este archivo o lo tenes mirate la pagina 35 ... donde aparece como resolverlo ... solo que yo no entendi por mi duda.... solo eso espero.

Gracias de antemano!=)

pd: primera vez que adjunto y uso Latex
10-02-2013 01:24
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Adolfito Sin conexión
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Mensaje: #7
RE: [Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
Segun entendi yo, tenes que agarrar la serie original y ponerle donde dice "h" , "(h+1)-1" y con esto te referis a la anterior a \[a_{h+1}\] para poder usar la HI como en cualquier ejercicio de induccion. Lo que no se, es si esto se hace asi =P
11-02-2013 13:11
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CarooLina Sin conexión
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Mensaje: #8
RE: [Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
Lo que hizo el esta bien. De ahi vos tenes que reemplazar(Ah y Ah-1) y llegar a la forma Ah+1.
Busca por el foro que yo ya resolvi uno como este y esta bien detallado. No simplifiques y trata de hallar esa forma.

Y estas son ecuaciones de recurrencia.

love
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 11-02-2013 13:46 por CarooLina.)
11-02-2013 13:46
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RE: [Pedido][Matemática Discreta] Ayuda con ejercicio de series
Gracias a ese enlace ya lo saque, ahora actualizo el post con demostracion terminada asi ya queda para cualquiera que tenga la misma duda q yo =P
11-02-2013 13:59
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