Bueno como lo dice el título estaba practicando ese tema, y me encontré con este ejercicio:

Dar la solución general y la solución particular para las condiciones iniciales dadas, luego probar por inducción los resultados:

\[a_{n}=4a_{n-1}-4a_{n-2} ; a_{0}=2 ; a_{1}=0\]

Acá va mi solución, me quede trabado en la parte de inducción:
1)
\[k_{1}=4\]
\[k_{2}=-4\]

\[x^{2}-4x+4=0\]
x=2

\[a_{n}=\alpha _{1}2^{n}+\alpha _{2}n2^{n}\] <-- Solución General

2)
n=0 -->datos
\[a_{0}=2\]

\[a_{0}=\alpha _{1}\]
\[\alpha _{1}=2\]

n=1 -->datos
\[a _{1}=0\]

\[a_{1}=2\alpha_{1}+2\alpha _{2}\]
\[2\alpha_{1}+2\alpha _{2}=0\]
\[\alpha _{2}=-2\]

\[a_{n}=2*2^{n}-2*2n^{n}\] --> Solución Particular

3)1º) n=1

\[a_{1}=0\therefore V\]

n=0
\[a_{0}=2\therefore V\]
2º)HI)n=h

\[a_{h}=2*2^{h}-2*h*2^{h}=2^{h+1}-2^{h+1}*h\]

\[a_{h-1}= 2*2^{h-1}-2(h-1)*2^{h-1}=2^{h}-2^{h}(h-1)\]

3º)TI)n=h+1

\[a_{h+1}=2*2^{(h+1)}-2*(h+1)*2^{h+1}=2^{h+2}-2^{h+2}(h+1)=2^{h+2}-2^{h+2}*h-2^{h+2}\]

\[P)a_{h+1}=4a_{h}-4a_{h-1}=4(2^{h+1}-2^{h+1}*h)-4[2^{h}-2^{h}(h-1)]=\]
\[2^{2}(2^{h+1}-2^{h+1}*h)-2^{2}[2^{h}-2^{h}(h-1)]=\]
\[2*2^{h+2}-2*2^{h+2}*h-2^{2}(2^{h}-2^{h}*h-2^{h})=\]
\[2*2^{h+2}-2*2^{h+2}*h-2^{h+2}+2^{h+2}*h-2^{h+2}=\]
\[2^{h+2}-2^{h+2}*h-2^{h+2} \therefore V\]

PD: Gracias por sus respuestas, actualice el post para que le sirva a cualquiera que tenga la misma duda que yo. Cualquier duda pregunten

Fijate que la ecuacion es la que tiene raices iguales porque da da r1=r2=2 y despues te queda k2=-2 k1=2

No entendi, me podes volver a explicar?

Si , viste que hay 2 tipos de ecuaciones, una para las que tienen raices distintas y otra para las que tienen raices iguales, el polinomio característico ahi es 0=-x^2+4x-4 las raiz es 2 (raiz doble)
La forma del a sub n (an) deberia ser: an=k1.r1^n + k2.n.r1^n
reemplazas r1=r2=2 ahí y te queda an=k1.2^n + k2.n.2^n
esa seria la ec. general, la particular la sacas usando los datos que te dieron, eso lo sabes no?

Si ahora entendí, no me acordaba bien como hacer lo del polinomio característico pero ya me acorde . Ahí actualize todo el post, tenes alguna idea de como terminar lo de inducción o de si esta bien lo que puse hasta ahora?

Buenas... ya que los examenes estan cerca seria wenisimo si pudieramos terminar este tema.
Bien ... mi duda puntual esta en la expresion:

\[a_{h+1}= 4a_{(h+1)-1} -4a_{(h+1)-2}\]

seria lo mismo:

\[a_{h+1}= 4a_{h} -4a_{h-1}\]

¿¿¿ De donde sacaste los coeficientes 4 y -4 ???

Si te bajas este archivo o lo tenes mirate la pagina 35 ... donde aparece como resolverlo ... solo que yo no entendi por mi duda.... solo eso espero.

Gracias de antemano!

pd: primera vez que adjunto y uso Latex

Segun entendi yo, tenes que agarrar la serie original y ponerle donde dice "h" , "(h+1)-1" y con esto te referis a la anterior a \[a_{h+1}\] para poder usar la HI como en cualquier ejercicio de induccion. Lo que no se, es si esto se hace asi

Lo que hizo el esta bien. De ahi vos tenes que reemplazar(Ah y Ah-1) y llegar a la forma Ah+1.
Busca por el foro que yo ya resolvi uno como este y esta bien detallado. No simplifiques y trata de hallar esa forma.

Y estas son ecuaciones de recurrencia.

Gracias a ese enlace ya lo saque, ahora actualizo el post con demostracion terminada asi ya queda para cualquiera que tenga la misma duda q yo