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[PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
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gus-tavo Sin conexión
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Mensaje: #1
[PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto] Parciales Análisis Matemático II
Buenas, estoy empezando a preparar el recuperatorio del primer parcial de Analisis Matematico II (Como ven me fue mal) y queria ver si alguno que mas o menos sepa de la materia me puede dar una mano con la resolucion de mi parcial.
Desde ya muchas gracias si pueden aportar algo!

Spoiler: Mostrar
[Imagen: jvni.jpg]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 05-11-2013 03:33 por Saga.)
03-11-2013 23:28
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Mensaje: #2
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro
El otro teorico lo pienso y vuelvo por aca si es que nadie mas te ayuda

T1) blaa bla bla bla bla bal.... luego tenes una funcion f que es un campo escalar, y una funcion h que es un campo vectorial definidas como

\[f:R^3 \to R/w=f(x,y,z)\quad h:R\to R^3/ h(t)=(x(t),y(t),z(t))\]

nos piden la composicion

\[g:R^3\to R/g=f(h(t))\]

lugo por regla de la cadena y sabes que las componentes del gradiente son las derivadas con respecto a cada variable

\[g'=\nabla f(h(t))\cdot h'(t)=\left ( \frac{df(x(t))}{dx},\ \frac{df(y(t))}{dy}, \frac{df(z(t))}{dz} \right )\cdot \left ( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt} \right )\]

finalmente

\[\boxed{g'(t)=\frac{df(x(t))}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{df(y(t))}{dy}\cdot \frac{dy}{dt}+\frac{df(z(t))}{dz}\cdot \frac{dz}{dt} }\]

1) f es C1 por tanto diferenciable, puedo aplicar entonces

\[f'(3,4,5)=\nabla F(3,4,5)\cdot r\]

donde r sera el director de la recta tangente a la curva , la cual es de la forma

\[C:\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=25\\\\z^2=x^2+y^2 \end{matrix}\right.\]

parametrizando y escribiendola como una funcion vectorial tenes

\[g:R\to R^3/g(t)=(5\cos t, 5\sin t,5)\]

el director de la recta a esa curva en el espacio sera la derivada d g

\[g'(t)=(-5\sin t, 5\cos t,0)\]

luego sabes que

\[g(t)=(3,4,5)\to \cos t=\frac{3}{5}\quad \sin t=\frac{4}{5}\quad 5=5\]

remplazando , el director de la recta es \[g'(t)=r=(-4,3,0)\]

el gradiente de F en el (3,4,5) es \[\nabla F=(6,8,10)\]

finalmente

\[\boxed {f'(3,4,5)=\nabla F (3,4,5)\cdot r=0}\]

2) es una composicion de la forma

\[h=f\circ g=f(g(u,v))\]

tenes que hallar la aproximacion en el punto (1,2), por definicion

\[z=h(1,2)=f(g(1,2))+\nabla h(1,2)(u-1,v-2)\]

por regla de la cadena

\[\nabla h(1,2)=\nabla f(g(1,2))\cdot \nabla g(1,2)=\nabla f(3,3)\cdot \nabla g(1,2)\]

hechas las cuentas obtenes que la aproximacion esta dada por la funcion

\[\boxed{z\approx f(g(u,v))=h(u,v)=-2+\frac{7}{2}(u-1)+3(v-2)}\]

3) la funcion f se aproxima por su polinimo de taylor , entonces

\[f\approx P\to f(2,-2,f(2,-2))\approx P(2,-2,P(2,-2))=(2,-2,6)\]

luego el plano tangente estara definido como

\[f\approx z\approx P=P(2,-2)+P'_x(2,-2)(x-2)+P'_y(2,-2)(y+2)\]

finalmente

\[\boxed{f\approx z\approx P=26+11(x-2)-15(y+2)}\]

4) si las superficies forman un angulo entre ellas, entonces sus vectores normales tambien lo haran , si encontras la ecuacion implicita de la superficie F que te dan de forma vectorial, obtenes

\[\\F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2\\\\G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1\]

los gradientes evaluados en el punto dado son respectivamente

\[\nabla F=(1,1,-\sqrt{2})\quad \nabla G=(1,1,\sqrt{2})\]

son perpendiculares, entonces el angulo de las superficies en ese punto es 90

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 05-02-2015 03:20 por Saga.)
05-11-2013 03:33
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Mensaje: #3
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
Muchisimas gracias Saga! Me diste una mano enorme!
05-11-2013 23:57
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Mensaje: #4
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
no se ven las imagenes Confused

[Imagen: 41yANAYHk4L.jpg]
15-02-2014 15:36
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Mensaje: #5
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
(15-02-2014 15:36)chiappy escribió:  no se ven las imagenes Confused

Si aparece, esta donde dice Spoiler tenes que apretar en Mostrar
16-02-2014 00:02
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Mensaje: #6
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
Saga una consulta, como llegás al x² + y² - z² para F(u;v)?
No tendrías que calcular Du y Dv, sabiendo que ambos vectores van a ser tangentes a la superficie, luego hacer el producto vectorial entre esos vectores, despejar u y v y así tendrías el normal? U = √2/2 y Sen(v) = √2/2 entonces V = π/4, esos datos los metés en el vector del producto vectorial que queda (-u.cos(v); -u.sen(v); u(cos²v + sen²v)) = (-u.cos(v); -u.sen(v); u), pero no me da (1,1,-1) que hice mal?
13-10-2014 13:46
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Mensaje: #7
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
En que ejercicio tatantatan

13-10-2014 13:50
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Mensaje: #8
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
Saga Perdón, el 4 de este mismo parcial
Creo que entedí, primero buscar la intersección de las superficies reemplazando los valores de la S parametrica (F) en la vectorial (G), derivás, y ahí reemplazás los valores
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 13-10-2014 14:19 por tatantatan.)
13-10-2014 14:01
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Mensaje: #9
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
Estem.... el vector que obtenes con tus cuentas es

\[\left ( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\]

haciendo el producto escalar con el otro vector

\[(1,1,\sqrt{2})\cdot\left ( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=-1+1=0\]

y por definicion si el producto escalar entre dos vectores es nulo entonces dichos vectores forman un angulo de 90 grados entre ellos

si multiplicas por -2 a tu vector , obtenes el mismo que puse de respuesta

(13-10-2014 14:01)tatantatan escribió:  Creo que entedí, primero buscar la intersección de las superficies reemplazando los valores de la S parametrica (F) en la vectorial (G), derivás, y ahí reemplazás los valores

para nada , simplemente busque la forma cartesiana de F calcule su gradiente y la evalue en el punto que me daban , lo que vos hiciste antes tambien esta correcto

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 13-10-2014 14:26 por Saga.)
13-10-2014 14:23
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tatantatan (13-10-2014)
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Mensaje: #10
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
Disculpen que reviva el thread, tengo una consulta con el ejercicio del polinomio de Taylor, cuando calculo P (2,-2) que es igual a f (2,-2) no obtengo 6 sino 26, y cuando hago la derivada parcial de f o p respecto de y evaluada en (2,-2), me da -15 en lugar de 15.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 03-02-2015 17:26 por Troyano.)
03-02-2015 17:26
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Mensaje: #11
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
Puede ser que me haya equivocado en las cuentas troyano en un rato las reviso ... si las hiciste bien entonces tus resultados son correctos

04-02-2015 12:00
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Mensaje: #12
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
Buenísimo, te agradecería un montón si podés revisarlo un minuto cuando puedas.
04-02-2015 17:21
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karu (01-03-2015)
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Mensaje: #13
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
(04-02-2015 17:21)Troyano escribió:  Buenísimo, te agradecería un montón si podés revisarlo un minuto cuando puedas.

correcto, yo me equivoque en las cuentas ... ahora edito la respuesta , gracias por avisar thumbup3

05-02-2015 03:20
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Mensaje: #14
RE: [PEDIDO] Resolucion Primer Parcial AM II Maria Ines Cavallaro[resuelto]
Una pregunta:

En el ejercicio 1, con la direccion tangente a la circunferencia, no habría que normalizarla a 1 para poder obtener la derivada direccional?
26-07-2015 17:13
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