Buenas gente.
Aca tengo una duda existencial (?

Tengo un ejercicio que dice "Sea \[f(x)=16\sqrt{x}+3 ln(x)-6\]. Calcule la derivada \[{(f^{-1})}'(10)\]."

Bueno, como yo soy rebuscado, no usé la formulita de derivada de una inversa, y propuse lo siguiente:

\[f(a)= b\]

\[{(f^{-1})}(b)=a\]

Entonces:

\[16\sqrt{x}+3 ln(x)-6 =10\]

Para x=1, f vale 10

\[f(1)= 10\]

\[{(f^{-1})}(10)=1\]

Bien, seguimos:

\[y=16\sqrt{x}+3 ln(x)-6\]

\[x=16\sqrt{y}+3 ln(y)-6\] --> como si fuese a despejar y para hallar la inversa.

Derivo y despejo y'

\[1=8y^{\frac{-1}{2}}y{}'+\frac{3y{}'}{y}\]

\[1={y}'(\frac{8}{\sqrt{y}}+\frac{3}{y})\]

\[{y}'=\frac{1}{\frac{8}{\sqrt{y}}+\frac{3}{y}}\]

Y ahora en y pongo la imagen de la función inversa. \[{(f^{-1})}(10)=1\]

Queda:

\[{y}'=\frac{1}{\frac{8}{\sqrt{1}}+\frac{3}{1}}= \frac{1}{11}\]

Que es la rta del problema.

Ahora mi duda es por qué da? está bien lo que hice? dio de casualidad? hay alguna explicación teórica de esto?

te muevo el tema a cs bs, para separar las homogenas de las que son especificas de tu carrera


En cuanto a tus preguntas

Esta bien

No es casualidad

Lo que hiciste fue de manera casi intuitiva aplicar el teorema de la composicion de la funcion con su inversa....

\[f(f^{-1}(x))=x\]

nada mas, muy bien el concepto

Ahi cambié borre cuando hice el cambio de x por y el = 10, eso no iba.

Entonces se puede decir que

\[x=16\sqrt{y}+3 ln(y)-6\]

Es la forma implicita de la inversa de \[y=16\sqrt{x}+3 ln(x)-6\] ??

(25-09-2013 14:20)harryy escribió:  Entonces se puede decir que

\[x=16\sqrt{y}+3 ln(y)-6\]

Es la forma implicita de la inversa de \[y=16\sqrt{x}+3 ln(x)-6\] ??

exacto...

pucha, como se lo demuestro al profe... pasa que este ej me lo tomaron en el examen, le dije al profe eso y me dijo que no

pucha no....no se me ocurre como ahora ..... voy a tener que preguntar a alguien que sepa mas al respecto...