Mañana tengo parcial y me estan matando estos ejercicios, casi todos los puedo resolver tranquilamente pero estos me desorientan, aunque sea si pueden expliquemelos, les dejo una imagen de los enunciados



aunque aunque sea de uno solo, agradeceria la explicacion, ya que son ejercicios muy particulares, gracias !

Para el ejercicio 6 te piden hallar el valor de n para que el limite sea finito. Tenes:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x^{2})-2sen^{2}x}{x^{n}}\]

Lo desdoblamos:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x^{2})}{x^{n}}-\frac{2sen^{2}x}{x^{n}}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x^{2})}{x^{n}}-\frac{2sen(x)sen(x)}{x^{n}}\]

Entonces, fijate que si n es igual a 2 nos queda:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x^{2})}{x^{2}}-\frac{2sen(x)sen(x)}{x^{2}}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x^{2})}{x^{2}}-\frac{2sen(x)sen(x)}{x*x}\]

Donde en el primer término te quedan infinitesimos equivalentes (osea que el límite valdrá 1), y en el segundo término pasa lo mismo con los senos y las x, quedandote que el limite valdra 2. El limite total será la resta de los límites de ambos términos:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x^{2})}{x^{2}}+\frac{2sen(x)sen(x)}{x*x} = 1 - 2 = -1\]

2) Ves que es continua(es fácil, un L`Hopital)
Ahora:
f`(x)= lim h->0 (f(h)-f(0)) / h
f`(x)= lim h->0 g(h) / h^2.
Aplico l`hopital 2 veces.
f`(x)= lim h->0 g``(h) / 2 =1

3) Este es fácil, te lo dejo para pensarlo un rato.
4) Son todas funciones C1, L`hopital y te fijas.
5) Para el lim x-> infinito, sacas factor común.
Para el lim x->1 podes con L`hopital o factorizando.
6)Lo hicieron arriba.
7)
Ahora como F es derivable y esta compuesta por una funcion C1(que llamo g(x)) vale la regla de la cadena.
lim x->1 (f(3+2lnx)) / (x-1) = -3 = f`(3) * g`(1)
f`(3) * 2 = -3
f`(3)=3/2

pd: Si alguien quiere pasar todo a latex mejor, ni me acuerdo como se usa.

el ejercicio 2 lo tenes que hacer por definición de derivada en un punto.
lim h->0 g(h)/(h^2) cociente 0/0 aplicas L'Hopital lim h->0 g'(h)/2h cociente 0/0 por lo tanto vuelvo a aplicar L'Hopital
lim h->0 g''(h)/h =2/2=1
un saludo espero q te sirva mucha suerte.

El 5-b está bueno.
Saca L'Hopital hasta que te quede solo a en el numerador.
Te termina quedando:
\[\lim_{x \to 1} \frac{6a}{0}\]

Por lo tanto, no existe a (y por lo tanto ni b, ni c, ni d) que cumplan lo pedido.

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El 4 no hace falta hacer nada.
Distribuí el \[x^{-2}\].
En uno de los términos te queda \[\frac{x}{x^{2}}\].
Simplifica y te darás cuenta que el límite va a tender a \[+\infty \]. Lo podés comprobar con el WvMáxima esto.