Alguien sabe como resolver este limite sin L'Hopital?

Aca tenes que jugar con la x y moverla de alguna forma, como multiplicando por x en el numerador y denominador, operando la expresion, cosas asi

Hola,

Es imposible manipular la \[x\] porque no se puede sacar ninguna conclusión con el numerador de la primera fracción.
Si bien usando la Regla es mucho más sencillo, investigué un poco y la mejor forma de resolver el límite es sustituir la exponencial por su serie de potencia. Sí, usando desarrollo en serie.

Previamente, mejoremos un poquito el límite:

\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^x - 1}{x} - 1}{x}} = \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{e^x - 1 - x}{x^2}}\].

Una vez llegado acá, planteamos:

\[\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{e^x - 1 - x}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\ldots) - 1 - x}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{(\cancel{1+x}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots) \cancel{- 1 - x}}{x^2}}=\\=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots)}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}(\frac{1}{2}+\frac{x}{3!}+\frac{x^2}{4!}+\ldots)=\boxed{\dfrac{1}{2}}\]

Saludosss.