Cuando tengo este tipo de series:

\[\sum_{n=0}^{\infty}\(-1)^n\frac{(-3)^n}{3^n(n+4)}\]

claramente para saber si converge hay que realizarlo por el criterio de Leibneiz. Pero ahora si no me equivoco la serie quedaría:

\[\sum_{n=0}^{\infty}\(-1)^{^{n+1}}\frac{1}{(n+4)}\]

entonces An sería \[\frac{1}{(n+4)}\] y a eso le aplico leibniz, es decir si cumple con:

1) \[\lim_{n\to \infty } \frac{1}{(n+4)} =0\]
2) Decrece \[an\geqslant an+1\]

Pero no estoy seguro por el \[(-1)^{n+1}\] si fuese \[(-1)^{n}\] no tendría la duda.
Quiero saber si se aplica igual o hay que hacer algo con el n+1

Otro caso que quiero saber es si tengo \[(-1)^{^{2n}}\] : que se hace, si se aplica leibniz a lo demás (an), o eso se va y me queda sólo lo demás..


Se ve el mensaje? lo hice en latex, en vista previa se veía bien.

\[\sum_{n=0}^{\infty}\(-1)^n\frac{(-3)^n}{3^n(n+4)}\]

Esa no es una serie alternada, fijate que para que una serie sea alternada vos tenes que tenes un valor positivo, luego uno negativo, luego uno positivo. Fijate que si separamos el \[(-3)^{n}\] nos queda:

\[\sum_{n=0}^{\infty}\(-1)^{n} \frac{(-1)^{n} * 3^{n}}{3^{n} * (n+4)}\]

Que es exactamente lo mismo que:

\[\sum_{n=0}^{\infty}\(-1)^{2n} \frac{1}{n+4}\]

Como \[(-1)^{2n}\] siempre es positivo lo podes eliminar y te queda:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+4}\]

Y eso estoy casi seguro que es una serie divergente porque el grado del polinomio de abajo no es dos grados mas grande que el de arriba. Igualmente testealo por alguno de los metodos.

Claro, esta bien yo pense que quedaba\[(-1)^{n+1}\], pero como queda al cuadrado se va.
y \[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n+4}\] es divergente, usas el criterio de la integral y da \[\infty \]

---

La otra parte del ejercicio es:
\[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{3^{n}(n+4)}(x-1)^{n}\]
Si la serie dada es la serie de taylor asociada a la función f(x) alrededor de x=1, determinar el valor de \[f^{(20)}(1)\]
Acá me quedo, como lo hago
Por ahí encontré una fórmula que es \[f^{k}(Xo)=k!ak\] si aplico la misma me da 29072895,07, no sé si está bien